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1、2.当当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共19页3.当当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共19页小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共19页若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动 目录
2、上页 下页 返回 结束 第4页/共19页例1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共19页例3.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共19页解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充补充例题例题第7页/共19页第8页/共19页例4.解解:由第五节例1 知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置
3、为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共19页方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况 (n=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共19页解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率 机动 目录 上页 下页 返回 结束(仅由系统特性确定)第11页/共19页方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共19页例5.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共19页内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共19页思考与练习 求方程的通解.答案答案:通解为通解为通解为作业作业 P358 1(1),(3),(5);2(1),(3),(5).第九节 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共19页感谢您的欣赏！第19页/共19页