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1、微分方程解题思路一阶方程分离变量法齐次方程公式法常数变易法一、二阶常系数线性齐次方程二、二阶常系数线性非齐次方程10.5二阶常系数线性微分方程标准形式齐次线性方程的标准形式非齐次线性方程的标准形式一、二阶常系数线性齐次方程的通解1.二阶齐次方程解的结构定理:注意:常数，若 常数 证明时，应先证明y是解，然后说明是通解定理也可描述为：齐次方程（1）的通解是它的两个线性无关特解的线性组合。2、特征方程故有特征方程将其代入上方程思考：哪一类函数可能是方程（1）的解？练习：写出下列微分方程的特征方程得满足特征方程的r 值，构成的 就是方程（1）的解特征方程练习：写出下列微分方程的特征方程特征方程（二次
2、方程）的解称为特征根特征根并求特征根3、解的形式1.）有两个不相等的实根方程(1)两个特解常数，得齐次方程的通解为故两个特解，线性无关如微分方程 的特征方程特征根通解：2.）有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为3.）有一对共轭复根利用欧拉公式得另一形式的两个根得齐次方程的通解为齐次方程（1）的通解公式：例1解特征方程为特征根故通解为解特征方程为特征根故通解为例2例3解特征方程为特征根 故所求通解为解 特征方程为特征根 故所求通解为例4：注意这种类型，往往容易写成 错了！练习解特征方程为特征根 通解为将 分别代入上两式，得：故原方程所求特解为作业：P405，3（1，2）4(3)小结二阶常系
3、数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.二、二阶常系数非齐次线性方程通解1、解的结构定理:非齐次的两个特解之差是齐次方程的解证明:(同学们试一试)非齐次通解齐次通解非齐次特解怎样求？定理可简单描述为：2、非齐次方程特解的求法试解函数检验法根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出待定系数，得其特解。试解函数Q(x)f(x)说明:1、不论f(x)是几项多项式,Q(x)必须是“同 次完全多项式”。2、不论f(x)是否只含正弦、余弦，Q(x)都要设为其线性组合。3、f(x)是两类函数乘积,Q(x)也是对应两类函数乘积若有，则将试解函数乘以 x,再检验，直到没有同类项为止。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？练习：P406 6 写出特解的形式