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1、第五节第五节 二阶常系数齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程微分方程一、定义一、定义二、二、线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构三、二阶常系数齐次线性方程的解法三、二阶常系数齐次线性方程的解法四、四、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法五、小结五、小结一、定义一、定义0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程其中其中 p 、q 为常数为常数二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？221
2、1ycycy 0 (1)ypyqy例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xcxcy 三、二阶常系数齐次线性方程解法三、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入方程将其代入方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根特征根特征根 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为1111212 =();r xr xr xyC eC xeCC x e 代
3、入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 有一对共轭复根有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye ()2,ixye )0( 由欧拉公式由欧拉公式cossiniei ()1cossin,ixxixxyeeeexix ()2cossin,ix
4、xixxyeeeexix重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 1122(1)cotyyyxCy 、 仍仍是是方方程程的的解解，且且定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得特征根解得特征根,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexccy 例例1 1.052的通解的通解求方程
5、求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得特征根解得特征根,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例2 2四、四、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项 kr若若是是 重重根根 rxkkexcxcc)(1110 jk 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxcxcc sin)(cos)(11101110 注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每
6、一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnycycycy 2211特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3五、小结五、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案