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1、第四节第四节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程方程方程为二阶常系为二阶常系数线性微分数线性微分方程方程其中其中 、是已知常数是已知常数,且且为二阶常系为二阶常系数线性数线性齐次齐次微分方程微分方程下面介绍方程下面介绍方程 解的结构解的结构.证明证明也是也是 的的解解，其中，其中 、为任意常数为任意常数 定理定理5-15-1 若函数、若函数、是方程是方程 的两个解，则的两个解，则把、把、代代入入方程方程 的左边，得的左边，得 、线性无关，是指不存在不全为零的常数线性无关，是指不存在不全为零的常数 、,使使 ,即即常数常数否则称否则称 、线性相关线性相关 定理定理5-25-2
2、若函数、是若函数、是方程方程 的的两个线性无关的特解，则两个线性无关的特解，则是方程是方程 的的通解通解,其中其中 、为任意常数为任意常数将其代入将其代入以上以上方程方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根 由定理由定理5-2,求方程求方程 的通解的关键的通解的关键是先要求出它的是先要求出它的两个线性无关的特解两个线性无关的特解.由于方程具有线性常系数的特点由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数而指数函数的导数仍为指数函数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如故我们可假设方程有形如 的解的解.的解法的解法方程有方程有两个两个线性无关的特解性无关的特解所以所以方程的通解方程的通解为特
3、征根特征根为()当当 ,特征方程特征方程有两相异实根有两相异实根根据判别式的符号不同根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论分下面三种情况讨论(2)当当 ,方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根一特解一特解为特征根特征根为若若 是原方程的解是原方程的解,应有应有所以所以方程的通解方程的通解为将将 代代入入以上方程以上方程,得得因因 ,故故所以所以特征根特征根为(3)当当 ,方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根利用欧拉公式利用欧拉公式可可将将 和和 改写成如下形式改写成如下形式重新重新组合合得方程的通解得方程的通解为不不难看出难看出 和和 线性无关线性无关求解求解二二阶常系数常系数齐次次线性线
4、性微分方程的一般步微分方程的一般步骤:（1）写出相）写出相应的特征方程的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,按下表写出方程按下表写出方程的通解的通解.(4)若问题要求出满足初始条件的特解若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件再把初始条件代入通解中代入通解中,即可确定即可确定 、,从而获得满足初始条件的从而获得满足初始条件的特解特解.例例5-13 5-13 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 (1)(1)特征方程为特征方程为所以方程的通解所以方程的通解为解得解得所以方程的通解所以方程的通解为解得解得 (2)(2)特征方程为特征方程为所
5、以方程的通解所以方程的通解为 (3)(3)特征方程为特征方程为解得解得解解 特征方程为特征方程为即即特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式对上式求导求导,得得例例5-145-14 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 、的的特特解解.将将 、代代入入以上二式以上二式,得得解此解此方程组，得方程组，得所以所求特解为所以所求特解为解解 特征方程为特征方程为例例5-155-15 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 、的的特特解解.即即特征方程有两个相等的实数根特征方程有两个相等的实数根所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式
6、对上式求导求导,得得将将 、代代入入以上二式以上二式,得得解此解此方程组，得方程组，得所以所求特解为所以所求特解为解解 特征方程为特征方程为特征根为特征根为所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为例例5-165-16 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 、的的特特解解.对上式对上式求导求导,得得所以所求特解为所以所求特解为将将 、代代入入以上二式以上二式,得得主要内容主要内容二阶常系数线性齐次微分方程及其解法二阶常系数线性齐次微分方程及其解法解法解法 特征方程法特征方程法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为解的方法称为特征方程法特征方程法.