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1、10-3 三重积分第1页/共69页定义定义.设设存在存在,称为体积元素称为体积元素,若对若对 作作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如例如:下列下列“乘乘中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在使得使得V 为为 的的体积体积,积和式积和式”极限极限记作记作第2页/共69页(1)(1)三重积分的存在性：三重积分的存在性：(2)(2)三重积分没有几何意义，但有物理意义三重积分没有几何意义，但有物理意义
2、.说明：说明：第3页/共69页1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)方法方法3.三次积分法三次积分法 先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.的的密度函数密度函数,方法方法:三重积分的计算三重积分的计算第4页/共69页如图，如图，第5页/共69页若把被积函数若把被积函数 f(x,y,z)设想为密度函数设想为密度函数,则则在在 D
3、xy 中任取一微元中任取一微元 ,其坐标为其坐标为(x,y),则则 对应的对应的,平行于平行于 z 轴的轴的,中的细棒质量中的细棒质量 第6页/共69页可以看到可以看到:的质量就是的质量就是 中所有这种中所有这种细棒细棒质量的无限累积质量的无限累积,利用微元法有利用微元法有(1)该公式该公式 称为三重积分的先一后二计算公式。称为三重积分的先一后二计算公式。所以有所以有()第7页/共69页则利用二重积分化为则利用二重积分化为二次积分的方法进一步可二次积分的方法进一步可将将(1)的积分化为的积分化为三次积分三次积分第8页/共69页该物体的质量为该物体的质量为细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为
4、微元线密度微元线密度记作记作方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)设设 D 为为 在在 xoy 平面上投影区域平面上投影区域.(1)化成一个定积分和一个二重积分化成一个定积分和一个二重积分第9页/共69页y=y1(x,z)z0y=y2(x,z)Dxzyx第10页/共69页x=x2(y,z)z0 x=x1(y,z)Dyzyx第11页/共69页化三次积分的步骤：化三次积分的步骤：投影，得平面区域投影，得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法第12页/共69页z
5、=0y=0 x=00y x 先画图先画图x0z y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1 围成围成z=01x+2y+z=1Dxy其中其中 为三个坐标为三个坐标书例书例计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.面及平面面及平面第13页/共69页解解:其中其中 为三个坐标为三个坐标书例书例计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.面及平面面及平面第14页/共69页典型分析典型分析1第15页/共69页666x+y+z=63x+y=62x0z y第16页/共69页666x+y+z=63x+y=62x0z y第17页/共69页3x+y=63x+2y=12x+y+z=666
6、6x0z y42第18页/共69页3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42第19页/共69页z=0y=042x+y+z=6x0z y666第20页/共69页42x0z y666D0y x24D第21页/共69页0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y=0,3x+y=6,3x+2y=12 围成围成z=0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy第22页/共69页典型分析典型分析2第23页/共69页xyzoy2=x第24页/共69页y2=xxyzo第25页/共69页z=0y=0 xyzo。y2=x第26页
7、/共69页。0y xD第27页/共69页EX.计算计算其中其中 是由抛物是由抛物柱面柱面及平面及平面y=0,z=0,解：解：D:0 y ,0 x yxz 0D0yx第28页/共69页例例2.将将化为三次定积分，其中化为三次定积分，其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围的闭区域所围的闭区域.解：解：先对先对 z 积分，将积分，将 向向 xoy 平面投影平面投影.z=x2+y2 x2+y2=1 D:x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2 第29页/共69页xyz01Dxyz=1z=x2+y2 第30页/共69页解解2：先对先对 y 积分，将积分，将 向向 xoz 平
8、面投影：平面投影：z=x2+y2 Dxoy:x2 z 1,z=1 1 x1z=x2+y2 xyz0Dxz1 1第31页/共69页 从上面的例子我们可以看到从上面的例子我们可以看到,利用利用“投影法投影法”来计算三重积分需要作图来计算三重积分需要作图,对于对于简单的图形还比较方便简单的图形还比较方便,但复杂一些的问题容易出错但复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的下面我们介绍的“截面法截面法”是是比较简单的方法比较简单的方法,有时可以不作空间图形有时可以不作空间图形.先求二重积分先求二重积分,再求定积分再求定积分.称为称为“截面法截面法”第32页/共69页 若积分区域若积分区域在在z轴上的投影区
9、域为轴上的投影区域为a,b,对于这区域内任意一点对于这区域内任意一点z,过过z作平作平面平行于面平行于xoy面面,该平面与区域该平面与区域相交为一平面区域记作相交为一平面区域记作Dz,0 xzybzaDz于是积分区域可表示为于是积分区域可表示为:第33页/共69页 这时三重积分可化为先对区域这时三重积分可化为先对区域Dz求二重积分求二重积分,再对再对z在在 a,b 上求定积分上求定积分 如果区域如果区域Dz可用不等式可用不等式 y1(z)yy2(z),x1(y,z)xx2(y,z)表示表示,那么三重积分又可以化为如下的三次积分那么三重积分又可以化为如下的三次积分:第34页/共69页为底为底,d
10、 z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该物体的质量为面密度面密度记作记作方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)(1)化为一个二重积分和一个定积分化为一个二重积分和一个定积分第35页/共69页第36页/共69页例例1.计算计算其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围成的闭区域所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：解：D(z):x2+y2zz 0,1第37页/共69页例例2.计算计算解：解：D(x):0 y 1x,0 z 1 x yzxy0111x:0 x 1 其中其中 是由平面是由平面 x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.D(
11、x)z=1 x y xy01 x1 x第38页/共69页0 xz yM(x,y,z)z rNxyz(x,y,z)(r,z)z=z2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:第39页/共69页z动点动点M(r,z)柱面柱面Sr=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：x0yzMrS S z2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 第40页/共69页动点动点M(r,z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：zx0yzMrS S P P 2.利用柱坐标计算三重
12、积分利用柱坐标计算三重积分 第41页/共69页xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd dzdV=.dV元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为r及及 r+dr的圆柱面；的圆柱面；平面平面 z及及 z+dz；第44页/共69页1Dxy:z=00 xz yDxy 计算计算1用哪种坐标？用哪种坐标？柱面坐标柱面坐标I=第45页/共69页0 xz y1DxyDxy:z=1锥面化为锥面化为:r=z1用哪种坐标？用哪种坐标？柱面坐标柱面坐标计算计算第46页/共69页0 xz y1Dxy1第47页/共69页例例1.计算计算其中其中 由由与与
13、 z=1 所围闭区域所围闭区域.解：解：D:x2+y21z=1 z=rz=0 xyz0Dz=rz=1第48页/共69页xyz0z=rz=11D第49页/共69页其中其中 为为例例2.计算三重积计算三重积分分所所解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面由柱面由柱面围成半圆柱体围成半圆柱体.第50页/共69页例例3.计算三重积计算三重积分分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式=第51页/共69页3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 第52页/共69页SrM yz x0r=常数常数:=常数常数:球面球面S动点动点M(r,)球
14、面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第53页/共69页 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半半平面平面P动点动点M(r,)M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面规定：规定：第54页/共69页球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，第55页/共69页 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d 球面坐标下的体积
15、元素球面坐标下的体积元素第56页/共69页r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素r 2sin drd d dVdV=半平面半平面 及及 +d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d 第57页/共69页第58页/共69页例例1.计算计算其中其中 =(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.解：解：x2+y2+z2=1 r=1而而 0 2 故故用用 =截截 得得 D()原积分原积分xyz0 第59页/共69页xyz0z011r=1第60页/共69页例例2.和和 x2+
16、y2+z2=a2 所围成闭区域所围成闭区域.解：解：x2+y2+z2=a2 r=a原积分原积分zyxa 第61页/共69页zyxar=az第62页/共69页例例3.计算三重积分计算三重积分解解:在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面第63页/共69页rR 对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点0 xz y第64页/共69页0 xz yMr R对对:从从0 积分，积分，对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点第65页/共69页 R对对 :从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体 得锥面得锥面0 xz y对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对:从从0 积分，积分，第66页/共69页0 xz yR.0I=V当当 f=1,对对 :从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体对对r:从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对:从从0 积分，积分，第67页/共69页柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标第68页/共69页感谢您的欣赏！第69页/共69页