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1、三重积分的计算三重积分的计算一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第1页/共56页0 xz yM(,z)z Nxyz(x,y,z)(,z)柱面坐标柱面坐标柱面坐标柱面坐标z=z.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共56页 z动点动点M(,z)柱面柱面S=常数：常数：平面平面 z=常数：常数：x0yzMrS S z柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面第3页/共56页动点动点M(r,z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:=常数：常数：平面平面
2、z=常数：常数：zx0yzMS S P P 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面.第4页/共56页xz y0 dd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为及及 +d 的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共56页半平面半平面 及及+d ;半径为半径为及及 +d的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；xz y0 d d d z底面积底面积 d d 元素区域由六个坐标面围成：
3、元素区域由六个坐标面围成：dz平面平面z+dz.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素第6页/共56页xz y0 drrrd d z底面积底面积 d d 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为及及 +d 的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；dzdV=.dV机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素第7页/共56页解解知交线为知交线为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共56页机动机
4、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共56页解解所围成的立体如图，所围成的立体如图，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共56页所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页/共56页第12页/共56页其中其中 为为由由例例例例3.3.3.3.计算三重积分计算三重积分计算三重积分计算三重积分所围所围解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面柱面柱面成半圆柱体成半圆柱体.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页/共56页例例例例4.
5、4.4.4.计算三重积分计算三重积分计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式 =机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第14页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下第15页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:1:在柱面坐标系下在柱面坐标系下此积分很难求！此积分很难求！第16页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:2:用截面法：用截面法：先固定先固定
6、 z，极坐标极坐标第17页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3:3:用截面法：用截面法：先固定先固定 ，第18页/共56页二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共56页0 xz yM(r,)r Nyxz.球面坐标球面坐标球面坐标球面坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页/共56页 SrM yz x0r=常数常数:=常数常数:球面球面S动点动点M(r,)球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面机动机动 目录目录
7、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页/共56页 C Cr=常数常数:=常数常数:S S球面球面S半半平面平面P动点动点M(r,)M yz x0 P P =常数常数:锥面锥面C.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第22页/共56页 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面+d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球
8、面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页/共56页r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d.半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素第24页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第25页/共56页机动机动 目录目录 上页
9、上页 下页下页 返回返回 结束结束 第26页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页/共56页解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第29页/共56页例例例例9.9.9.9.计算三重积分计算三重积分计算三重积分计算三重积分解解:在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共56页例例例例10.10.10.10.求曲面求曲面求曲面求曲面所围立体体积所围立体体积.解
10、解:由曲面方程可知由曲面方程可知,立体位于立体位于xoy面上部面上部,利用对称性利用对称性,所求立体体积为所求立体体积为yoz面对称面对称,并与并与xoy面相切面相切,故在球坐标系下所围立体故在球坐标系下所围立体为为且关于且关于 xoz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共56页解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第32页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:在球面坐标系下在球面坐标系下利用对称性利
11、用对称性第33页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解第34页/共56页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第35页/共56页例例例例14.14.14.14.计算计算计算计算其其中中解解:利用对称性利用对称性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第36页/共56页三、三重积分的变量替换三、三重积分的变量替换定理定理机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第37页/共56页则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第38页/共56页解解做广义球坐标变换做广义球坐标变换则
12、则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第39页/共56页（1 1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2 2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3 3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第40页/共56页*说明说明:三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第41页/共56页作业作业P106 9(1)；10
13、(2)；11(2)(3)(4)；12第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第42页/共56页思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第43页/共56页Dxy:。z=0ab0y xDxy。直角坐标直角坐标用哪种坐标？用哪种坐标？1.1.1.1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第44页/共56页azobyxcz=xy.1.1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第45页/共56页zz=0acz=xyyxb.1.1.o机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第46页/共56页azoxy.cz=xy
14、b.1.1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第47页/共56页Dxy:。a0y xDxy联立联立柱面坐标柱面坐标。用哪种坐标？用哪种坐标？2.2.2.2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第48页/共56页2aa.L联立联立柱面坐标柱面坐标2a0 xyz 2.2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第49页/共56页0 xz y.LD.联立联立柱面坐标柱面坐标a2a2.2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第50页/共56页0 xz yab3.3.3.3.第51页/共56页b0 xz ya 问题问题：2 要不要分块？要不要分块？3 怎么分块？怎么分块？把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些把图形放大一些1 用哪种坐标？用哪种坐标？（球面坐标）（球面坐标）3.3.第52页/共56页3.3.0 xz yba联立联立r=2a cos r=b交线交线 L交线交线 L处处.第53页/共56页3.3.0 xz yba.xz y.第54页/共56页3.3.0 xz yba.I=I1+I2.I2=2第55页/共56页感谢您的观看。感谢您的观看。第56页/共56页