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1、定义定义.设设存在,称为体积元素,若对 作任意分割:任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如 下列“乘中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,积和式”极限记作第1页/共34页1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:第2页/共34页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作第3页
2、/共34页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作第4页/共34页投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第5页/共34页当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.第6页/共34页小结小结:三重积分的计算方三重积分的计算方法法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.第7页/共34页其中 为三个坐标例例1.计算三重积计算三重积分分所围成的闭区域.解:面及平
3、面第8页/共34页例例2.计算三重积分计算三重积分解:用“先二后一”第9页/共34页例例3解一解一先重后单先重后单第10页/共34页解二解二先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D例例3第11页/共34页例例4解解第12页/共34页13解法一解法一例例5第13页/共34页解法二解法二第14页/共34页例例6解第15页/共34页2.利用柱坐标计算三重积分 第16页/共34页就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第17页/共34页如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素在柱面坐标系中体积元素为为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程
4、简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第18页/共34页其中 为例例7.计算三重积计算三重积分分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第19页/共34页例例8.计算三重积计算三重积分分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=第20页/共34页解解第21页/共34页第22页/共34页3.利用球坐标计算三重积利用球坐标计算三重积分分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第23页/共34页如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素在球面坐标系中体积元素为为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标
5、表示时变量互相分离.第24页/共34页例例10.计算三重积计算三重积分分解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面第25页/共34页例例11.计算积计算积分分其中 是两个球(R 0)的公共部分.提示:由于被积函数缺 x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.第26页/共34页课本例题3.6 设(V)为球面x2+y2+z2=2az(a0)和锥面(以z轴为对称轴，顶角为2)所围的空间区域，求（V）的体积。第27页/共34页课本例题3.8 计算第28页/共34页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;第29页/共34页1.将用三次积分表示,其中 由所提示:思考与练习六个平面围成,第30页/共34页2.设设计算提示:利用对称性原式=奇函数第31页/共34页3.设设 由锥由锥面面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标 第32页/共34页4.计算计算其中解:利用对称性第33页/共34页感谢您的欣赏！第34页/共34页