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1、极限荷载方法经济合理局限性只反映结构最后状态：不反映弹性塑性极限状态过程 给定K在实际荷载作用下结构工作状态无法确定设计荷载作用下，大多数为弹性状态结构设计弹性与塑性计算相互补充 简化计算：假设材料为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图121所示。第1页/共179页加载应力增加材料弹塑性卸载应力减少材料弹性在经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。叠加原理不适用比例加载 各荷载按同一比例增加第2页/共179页12-2 极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰 破坏机构破坏机构
2、 静定梁的计算静定梁的计算 一、弹塑性阶段工作情况一、弹塑性阶段工作情况 理想弹塑性材料T形截面梁（图122a）纯弯曲状态基本概念。第3页/共179页图b：截面处于弹性阶段，Mu）机构2：A、C塑性铰（图12-7c），求得可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件；分段叠加法绘出M图（图f），满足内力极限条件，即同时为可接受荷载极限荷载第34页/共179页12-6 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁（图128a）破坏机构的可能形式：各跨独立形成破坏机构（图b、c、d），不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构（图e）因为荷载方向均向下，各跨的最大负弯矩只可能发生在支座截面处。不可能一跨中部出现负弯矩塑
3、性铰（图e）第35页/共179页连续梁的极限荷载计算：对每一个单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载取其中的最小值得到连续梁的极限荷载。【例12-4】试求图所示连续梁的极限荷载。各跨为等截面，极限弯矩如图每一个单跨破坏机构为图b、c、d：（图d中应为F截面为塑性铰）第36页/共179页AB跨破坏时（图b）：BC跨破坏时（图c）：CD跨破坏时（图d）C支座处取较小的Mu：比较以上结果，可知CD跨首先破坏，所以极限荷载为 第37页/共179页12-7 刚架的极限荷载刚架的极限荷载刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。【图1210】图示刚架，各杆为等截面，极限弯矩：AC、BEMu；CE2Mu。计算极限荷载。
4、首先确定破坏机构的可能形式：由弯矩图的形状（求解器计算）可知塑性铰只可能在A、B、C、D、E五个截面出现。刚架3次超静定故只要出现4个塑性铰，或直杆上出现三个塑性铰即为破坏机构第38页/共179页可能的破坏机构：第39页/共179页穷举法：机构1（图1210b）：机构2（图1210c）：第40页/共179页机构3（图1210d）机构4（图1210e）选取最小的，所以极限荷载为 第41页/共179页试算法：选机构2（图1210c）：求相应荷载 作M图（图1211a）：叠加法作CE的M图得MD=2.67Mu 2 Mu，不满足CE的内力局限条件荷载P不是可接受荷载。第42页/共179页选机构3（图1
5、210d）：求相应荷载 作M图（图1211b）：叠加法作CE的M图得MC=0.42Mu Mu，满足AC的内力局限条件荷载是可接受荷载。故机构3即为极限状态，极限荷载为第43页/共179页*12-8 矩阵位移法求刚架的极限荷载矩阵位移法求刚架的极限荷载以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，简称为增量法或变刚度法，适合电算解复杂的极限荷载问题。假设：（1）当出现塑性铰时，假设塑性区退化为一个截面（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加所有荷载可用一个荷载参数F表示，且为结点荷载因而塑性铰只出现在结点处。若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理（3）每个杆件的极限弯矩为常数
6、，但各杆的极限弯矩可不相同。（4）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。第44页/共179页 1增量变刚度法的基本思路把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题两个特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算，因而叫做增量法。以新塑性铰的出现作为分界标志，把加载的全过程分成几个阶段：由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段，再过渡到两个塑性铰阶段，最后达到结构的极限状态。每一个阶段有一个相应的荷载增量，由此可算出相应的内力和位移增量，累加后便得到总的内力和位移。第45页/共179页（2）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，因而叫做变刚度法。在施加某个荷载增量的
7、阶段内，由于没有新的塑性铰出现，因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变在此阶段内的结构可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；当由前一阶段转到新的阶段时，由于有新的塑性铰出现，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改第46页/共179页F1F1F=F1+FF1F=+第47页/共179页以图a所示的梁为例加以说明。（1）弹性阶段：零荷载P1 第一个塑性铰出现【解】单位荷载P=1作用单位弯矩图（图），其中控制截面A和B的弯矩组成单位荷载的弯矩向量相应截面的极限弯矩和单位弯矩相比:A点比值较小第48页/共179页最小比值发生在A点，其值为上述最小比值我们用P1来表示。
8、当荷载增大到：梁的弯矩为：相应的弯矩向量为：第49页/共179页（2）一个塑性铰阶段：P1 P2 第二个塑性铰出现【解】截面A应改为单向铰结点结构降低一次超静定，改成简支梁。单位荷载P=1作用弯矩图（图）。第二个塑性铰出现时所需施加的荷载增量可按下式确定：第50页/共179页此荷载增量引起弯矩增量为第51页/共179页（3）极限状态 出现两个塑性铰后，结构已成为单向机构，从而达到极限状态。极限状态的弯矩M：极限荷载为：第52页/共179页例12-6试用增量变刚度法求图示刚架的极限荷载。解（1）第一阶段计算原刚架在单位荷载P=1作用下，单位（力）弯矩图（图b ）各控制截面的比值 中，以截面D的比
9、值为最小，即为第一阶段终结荷载：第一个塑性铰出现在截面D。(图c)第53页/共179页 （2）第二阶段计算把截面D改为铰结点，P=1，作出新的单位弯矩图（图a-图）在各控制截面中以截面E的比值为最小，第54页/共179页这个比值就是第二阶段的荷载增量，即弯矩增量为荷载和弯矩的累加值分别为：第二个塑性铰在截面E出现(图c)第55页/共179页（3）第三阶段计算除截面D外，再把截面E改为铰结点，P=1，作出新的单位弯矩图（图a-图）求各控制截面的比值其中以截面A的比值为最小第56页/共179页P3作用下的弯矩增量为荷载和弯矩的累加值分别为第三个塑性铰在截面A处出现(图c)第57页/共179页 （4
10、）第四阶段计算再把截面A改为铰结点，P=1，新的单位弯矩图（)求各控制截面的比值其中以截面C的比值为最小M4=M4P4（图b）第58页/共179页 （5）极限状态除D、E、A处，再把截面C改为铰结点，刚架已变为机构，处于极限状态M4，于是P4就是极限荷载，即荷载和弯矩的累加值分别为第四个塑性铰在截面C处出现。第59页/共179页使用SMSolver计算Mi图VB程序设计变刚度法第60页/共179页第十三章第十三章 结构弹性稳定结构弹性稳定131 概述概述结构设计强度验算：最基本的和必不可少的稳定验算：在某些情况下显得重要薄壁结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高强度材料结构钢结构：钢框架、大跨屋架
11、、桥梁受压比较容易丧失稳定结构稳定计算：小挠度理论方法简单，结论基本正确。大挠度理论结论精确，方法复杂。第61页/共179页结构失稳：原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性（由稳定平衡不稳定平衡状态）两类稳定问题两种基本形式：第一类稳定问题分支点失稳第二类稳定问题极值点失稳。第62页/共179页结构的平衡状态稳定性（以直杆受压为例）设结构：原来处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置；干扰消失后：稳定平衡状态恢复平衡位置：直线平衡形式，只受压力不稳定平衡状态继续偏离，不能回到原来位置；弯曲平衡形式，受压、弯中性平衡状态（随遇平衡）由稳定平衡到不稳定平衡过渡的 中间状态。PPPcrP
12、第63页/共179页 1分支点失稳（第一类稳定问题）以简支压杆为例。（图a）完善体系（理想体系）:杆轴理想直线荷载理想中心受压荷载（无偏心）微小干扰发生弯曲（图b）随压力P增大，考查F与中点挠度之间的关系曲线F-曲线（平衡路径）（图c）：OAFFcr，0，直线平衡A点FFcr，直线平衡 弯曲平衡（力不增加，位移可以增加）第64页/共179页直线形式的平衡状态稳定：单纯受压，无弯曲原始平衡状态：路径I原始平衡路径：曲线由直线OA表示。（受到干扰，偏离平衡位置；干扰消失，恢复平衡位置）原始平衡状态是稳定的。（唯一的平衡形式）；第65页/共179页F2 Fcr：两种不同形式的平衡状态：直线形式路径I
13、（AD段）弯曲形式路径II（AC段：大挠度理论）（AB段：小挠度理论）点D 对应的平衡状态是不稳定的：受到干扰而弯曲，干扰消失，继续弯曲（偏离）直到CD第66页/共179页分支点：两条平衡路径和的交点A分支点失稳：平衡形式的二重性：OA稳定平衡AD不稳定平衡 稳定性的转变。分支点A对应的荷载临界荷载对应平衡状态临界状态。结构分支点失稳特征：分支点 F Fcr原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。DI（稳定）I（不稳定）II第67页/共179页丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。图示承受荷载的结构：a所示承受均布水压力的圆环：园非园b承受均布荷载的抛物线拱c刚架：轴向受压压缩和弯
14、曲d悬臂工字梁：平面弯曲斜弯曲和扭转第68页/共179页丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变：原有平衡形式成为不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。第69页/共179页2极值点失稳（第二类稳定问题）以简支压杆为例（图133）非完善体系（图a）：具有初曲率承受偏心荷载加载处于受压和弯曲平衡状态F曲线（图b）小挠度理论（-）F Fe(欧拉临界值)挠度 大挠度理论（-）F Fcr（极值点A）极值点后荷载下降不稳定 Pe第70页/共179页大挠度理论：F 0Y”0 xy第85页/共179页通解：已知边界条件：x 0，y 0，y 0，x l，y 0代入通解，可得关于A、
15、B、FS/F 的齐次方程：零解原始直线平衡形式非零解新的平衡形式系数行列式应等于零第86页/共179页特征方程：D0y1 nl 和 y2 tgnl 的函数图线，其交点横坐标即为方程的根。3/2=4.71，nl=4.7左右试算法：（表131）特征值：nl 4.493第87页/共179页133 具有弹性支座的压杆稳定（图138）刚架 压杆 弹性支座（图a）AB压杆，BC杆对AB杆的 转动约束作用（图b）简化为弹性支座的压杆（图c）转动刚度：图138第88页/共179页坐标系xy分支点失稳新的平衡形式：y1 B端反力矩：A端反力FS：取截面x，杆段Ax：平衡微分方程：FFSM第89页/共179页式中
16、三个待定常数A、B、1，由边界条件确定：x=0,y=0;y=1 x=l,y=0 通解特征方程：第90页/共179页弹簧刚度 k1已知可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得临界荷载Fcr 第91页/共179页特殊情况：k1 0，即两端铰支，k1 ，即一端铰支，一端固定第92页/共179页一般情况（图139c）压杆三个弹性支座坐标系xy分支点失稳新的平衡形式y：边界条件：杆端0、1、2杆端反力：FFH3M1M2FFH3MFM1FH3任取截面x，杆段1x第93页/共179页任取截面x，杆段1x：平衡微分方程：MFM1FH3第94页/共179页式中4个待定常数A、B、1，由边界条件确定：x=0,y=
17、0;y=1 x=l,y=;y=-25个待定常数，其中1个为不独立的，由整体平衡条件可得其它常数表示第95页/共179页整体：第96页/共179页第97页/共179页第98页/共179页 关于A、B、2的齐次方程非零解：特征方程稳定方程:（136）弹性支座压杆稳定方程的一般情形第99页/共179页（图138b）一端弹性固定，另一端铰支。k2=0，k3=（=0），2 不作为独立参数k2=0000第100页/共179页整体平衡，k20（133）第101页/共179页（图139a）一端弹性固定，另一端自由。k2=0，k3=0第102页/共179页（图139a）一端弹性固定，另一端自由。k2=0，k3=
18、0（134）第103页/共179页（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。k2=0，k1=第104页/共179页（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。k2=0，k1=（135）第105页/共179页【例132】（图1310）对称刚架对称荷载（图a）失稳形式正对称（图b）反对称（图c）第106页/共179页正对称取半跨（图d）弹性转动约束：k1 2i1 22EI/l 4EI/l由式（133）2i1第107页/共179页反对称取半跨（图e）与（图139a）相同 （水平位移无约束）弹性转动约束：k1 32i1 322EI/l 12EI/l由式（154）第108页/共179页与典型压杆形式相
19、比：正对称失稳比两端简支增加弹性约束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2（9.87）反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47）所以结构必以反对称形式失稳。第109页/共179页13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载基本方法有两类：根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。静力法问题：微分方程具有变系数，不能积分为有限形式边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式不易展开和求解能量法较为简便结构失稳时平衡的二重性为依据应用能量形式表示平衡条件确定临界荷载。第11
20、0页/共179页势能驻值条件用位移表示的平衡方程在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。势能是位移y1的二次式，其关系曲线是抛物线。（图）F Fcr，势能是负定的。原始平衡状态是不稳定平衡状态。F=Fcr，体系处于中性平衡状态，即临界状态荷载即临界荷载临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。EPy1第111页/共179页势能驻值原理能量形式表示的平衡条件：对于弹性结构，在满足支承条件和位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（即真实位移），使结构的势能为驻值。即结构势能的一阶变
21、分对于零EP0结构势能 结构应变能 外力势能 EP=VE+V应变能 EP=ky2i（按材料力学公式计算）外力势能 V=Fii（外力虚功的负值）第112页/共179页有限自由度结构一组关于ai的齐次方程组，要使ai不全为零，则方程组的系数行列式应等于零稳定方程临界荷载结构的势能势能驻值原理第113页/共179页【例133】单自由体系(图a)失稳时微小偏移（图b）弹簧应变能为荷载势能为为杆端竖向位移第114页/共179页体系的势能为y10，临界荷载第115页/共179页【例134】（图1312a）具有两个变形自由度的体系。能量法弹性支座应变能荷载势能在图b中，1点的竖直位移为结构势能 EPVEV第
22、116页/共179页结构势能应用势能驻值条件：第117页/共179页得势能驻值条件的解包括全零解和非零解。求非零解，建立特征方程展开式得解得两个特征值：最小的特征值叫做临界荷载，即第118页/共179页无限自由度结构势能应变能：荷载作用点下降取微段ds与投影dx之差积分外力势能：第119页/共179页外力势能结构势能其中挠曲线函数y 未知无限多独立参数。结构势能为挠曲线函数y的函数泛函求极值问题变分法问题瑞利李兹法近似为有限多自由度应变能第120页/共179页瑞利李兹法：假设挠曲线为有限个已知函数的线性组合 i(x)满足位移边界条件的已知函数表132（p34）ai任意参数，共n个原体系被近似地
23、看作有n个自由度的体系。求解Fcr 为近似解（按有限自由度求解）*Fcr Fcr(精确解)（p34）因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，故相当于加入了某些约束，从而增大了压杆抵抗失稳的能力 第121页/共179页弯曲应变能再求与F相应的位移（压杆顶点的竖向位移）。为此，先取微段AB进行分析。荷载势能体系势能势能驻值条件即（i1,2,.n）第122页/共179页【例135】图示两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。简支压杆的位移边界条件为：当x=0 和x=l 时，y=0（1）假设挠曲线为正弦曲线：满足压杆两端的边界条件应变能及外力势能:第123页/共179页结构势能：与静力法的精确解相同
24、，所设挠曲线即是真实挠曲线。第124页/共179页 （2）假设挠曲线为抛物线（3）取跨中横向集中力FS作用下的挠曲线作为变形形式误差为0.01（4）讨论：假设挠曲线临界荷载值 抛物线误差为21.6%。跨中横向集中力作用下的挠曲线误差为1.3%，正弦曲线，失稳真实变形曲线临界荷载是精确解误差为21.6第125页/共179页【例136】试求图137所示压杆的临界荷载坐标系如图，两端位移边界条件为当x=0时，y=0，y=0当x=l时，y=0假设变形曲线为取表132中第四种相应位移条件的多项式级数前两项：第126页/共179页第127页/共179页a1、a2不全为零：第128页/共179页第129页/
25、共179页【例137】图示等截面柱，下端固定、上端自由，试求在均匀竖向荷载作用下的临界荷载值qcr均布荷载q，需要另行计算外力势能：微段ds转角y，产生竖向位移：微段以上荷载FS=q（l-x）在此位移上做功FSd所有荷载所作之功为沿杆长积分：dsd第130页/共179页坐标系如图两端位移边界条件为当x=0时，y=0y=0根据上述位移边界条件，假设变形曲线为取表132中相应位移条件的三角级数（a）的两项：第131页/共179页积分求应变能与外力势能：第132页/共179页第133页/共179页第134页/共179页135 变截面压杆的稳定两种变截面压杆：阶梯形、截面惯性矩按幂函数变化1阶梯型直杆
26、（图1316a）上下两部分刚度为：EI1、EI2压杆失稳时上下两部分的位移为：y1、y2平衡微分方程：第135页/共179页第136页/共179页通解：有五个未知常数：A1、B1、A2、B2、已知边界及连续条件：第137页/共179页代入通解可得：得方程：第138页/共179页稳定方程：展开：D取后三个方程：（A2由确定）第139页/共179页（1319）该式只有已知比值I1/I2、l1/l2才能求解。第140页/共179页对于柱顶、截面突变处作用F1、F2 的情形，类似推导可得稳定方程：（1320）上式只有已知比值才能求解。第141页/共179页【例】(图1317)最小根为：临界荷载:第14
27、2页/共179页能量法解：第143页/共179页第144页/共179页第145页/共179页误差1.25%第146页/共179页2.截面惯性矩按幂函数变化（图）若已知比值I2/I1及m，可由上式确定a对于不同m值，有不同形状的杆件。m=2、4为两种很有实用价值的情况：第147页/共179页1、m4（图b）：具有直线外形的圆形或正方形实心压杆2、m2（图c）：具有直线外形的由4个截面不变的角钢组成的组合压杆（略去角钢对本身形心轴的惯性矩）第148页/共179页简化为：对于（图d）所示下端固定上端自由的压杆，m2，微分方程：第149页/共179页变系数微分方程，令tlnx，可变常系数方程:第150
28、页/共179页解可写为：（1325）第151页/共179页设解：满足方程。第152页/共179页欧拉公式：代入：第153页/共179页边界条件：第154页/共179页若已知，可解k 最小值，进而求得临界荷载 Fcr。第155页/共179页m4，微分方程：第156页/共179页边界条件：第157页/共179页A、B不全为零，稳定方程：第158页/共179页第159页/共179页还可以表示为：第160页/共179页136 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响建立挠曲线微分方程，同时考虑弯矩和剪力对变形的影响弯矩引起的曲率：计算剪力引起的附加曲率：第161页/共179页先求剪力引起的杆轴切线的附
29、加转角第7章（p111）代入（a）式：(1332)第162页/共179页（图319）所示，有：M=FyM=Fy第163页/共179页通解：边界条件：第164页/共179页其最小正根为：第165页/共179页（1534）式中FE 为欧拉临界荷载，为修正系数这里E 为欧拉临界应力。设压杆材料为3号钢，取E为比例极限p200MPa，剪切模量G80GPa可知，实体杆件中，剪力影响很小，通常可以略去。第166页/共179页137 组合杆的稳定组合杆的稳定组合压杆工程中通常由两个型钢用若干联结件相联组成。（图1320）联结件有：缀条式缀板式截面和柔度相同：组合压杆Fcr 实体压杆Fcr 组合压杆中剪力影响
30、较大。第167页/共179页当组合压杆节间数目较多时，临界荷载可用式（1334）近似计算:需另行处理，以反映联结件的影响。求组合压杆在单位剪力作用下的剪切角代替k/GA即可。第168页/共179页1.缀条式组合压杆缀条通常使用单根角钢，与主要杆件两个型钢相比，截面较小故两端可视为铰结。取一个节间考虑：（图1321）在单位剪力FS1的作用下，剪切角为主要杆件的截面大得多，忽略其轴向变形影响。只计算缀条的影响：第169页/共179页代入式（1334）（1536）只计算缀条的影响：第170页/共179页其中：（1536）第171页/共179页斜杆比横杆影响更大：设：两者EA相同，45斜杆与横杆影响之
31、比为2.828：1第172页/共179页引入长度系数，表示成欧拉问题的基本形式若略去横杆的影响，且型钢两侧平面内设有缀条r：主杆截面对整个截面形心轴的回转半径第173页/共179页即钢结构规范中通常推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式第174页/共179页2、缀板式组合压杆组合压杆采用缀板联结 缀板与主要杆件为刚结，无斜杆。确定时，将组合杆件 当作单跨多层刚架：反弯点在节间中点；剪力平均分配于 两个主要杆件。（图a）剪切角为图中之弦转角第175页/共179页图b所示M图图乘法：修正系数2，将随节间长度 d 增加而减小一般情况，缀板刚度比主要杆件刚度大的多，取EIb=第176页/共179页（1342）（整个杆件）(一根主要杆件，在一个节间内)惯性矩：I=2Adr2,Id=Adrd2长细比：=l/r，d=l/rd 代入（1342）第177页/共179页钢结构规范确定缀板式组合压杆长细比的公式：第178页/共179页感谢您的观看。第179页/共179页