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1、1、弹性分析方法、弹性分析方法 把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。其强度条件为其强度条件为2、塑性分析方法、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为11-1 概述max结构的实际最大应力；结构的实际最大应力；材料的容许应力；材料的容许应力；u材料的极限应力；材料的极限应力；k安全系数。安全系数。F结构实际承受的荷载；结构实际承受的荷载；Fu极限荷载；极
2、限荷载；K安全系数。安全系数。第1页/共67页11-1 概述 结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。简化为系作合理地简化。简化为理想弹塑性理想弹塑性材料。如图所示。材料。如图所示。OA段：材料是理想弹性的，应力段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。与应变成正比。AB段：材料是理想塑性的，应力不段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。变，应变可以任意增长。CD段：应力减为零时，有残余应段：应力减为零时，有残余应 变变OD。结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只
3、考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加次加于结构，且各荷载按同一比例增加比例加载比例加载。第2页/共67页主主要要内内容容：解解释释几几个个基基本本概概念念，极极限限弯弯矩矩、塑塑性铰性铰和和极限状态极限状态。图图示示例例：纯纯弯弯曲曲状状态态下下的的理理想想弹弹塑塑性性材材料料的的矩矩形截面梁。形截面梁。随随着着弯弯矩矩MM的的增增大大，梁梁会会经经历历由由弹弹性性阶阶段段到到弹弹塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）见下页图）MhMb11-2 基本概念基本概念第3页/共67页实实验验表表明明：无无论论在在哪哪一一个个阶阶段段，梁梁弯弯曲曲变变形
4、形时时的的平面假定平面假定都成立。都成立。a)b)c)y0y0hb11-2 基本概念基本概念第4页/共67页一、极限弯矩一、极限弯矩分分析析：(1)图图(a)表表示示截截面面处处于于弹弹性性阶阶段段。该该阶阶段段的的最最大大应应力力发发生生在在截截面面最最外外纤纤维维处处，称称为为屈屈服服极极限限 y，此此时时的的弯弯矩矩Ms称称为为弹弹性性极限弯矩极限弯矩，或称为，或称为屈服弯矩屈服弯矩。即：。即：a)（2）图图(b）截截面面处处于于弹弹塑塑性性阶阶段段，截面外边缘处成为塑性区，截面外边缘处成为塑性区，应力为常数应力为常数，b)y0y011-2 基本概念第5页/共67页=s；在截面内部(|y
5、|y0)则仍为弹性区，称为弹性核，其应力为直线分布，即：(3)图图(c)表表示示截截面面达达到到塑塑性性流流动动阶阶段段。在在弹弹塑塑性性阶阶段段中中，随随着着M增增大大，弹弹性性核核的的高高度度逐逐渐渐减减小小，最最后后y00。此此时时相相应应弯弯矩矩是是截截面面所所能能承承受受的的最最大大弯弯矩矩，称称为为“极极限弯矩限弯矩”，即：，即：c)11-2 基本概念第6页/共67页 比比较较两两式式可可知知：对对于于矩矩形形截截面面，极极限限弯弯矩矩为为弹弹性极限弯矩的性极限弯矩的1.5倍倍，即，即Mu=1.5Ms。二、二、塑性铰和极限荷载塑性铰和极限荷载 在在塑塑性性流流动动阶阶段段，在在极极
6、限限弯弯矩矩Mu保保持持不不变变的的情情况况下下，两两个个无无限限靠靠近近的的截截面面可可以以产产生生有有限限的的相相对对转转角角。因因此此，当当某某截截面面弯弯矩矩达达到到极极限限弯弯矩矩Mu时时，就就称该截面产生了称该截面产生了塑性铰塑性铰。塑塑性性铰铰是是单单向向铰铰。因因卸卸载载时时应应力力增增量量与与应应变变增增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此因此塑性铰塑性铰11-2 基本概念基本概念第7页/共67页只只能能沿沿弯弯矩矩增增大大的的方方向向发发生生有有限限的的相相对对转转角角。若若沿沿相相反反方方向向变变形形，则则截截面面立立即即恢恢复复其其弹
7、弹性性刚刚度度而而不不再再具有铰的性质具有铰的性质。FPul/2l/2FPuMuMu 上上图图示示简简支支梁梁跨跨中中受受集集中中力力作作用用，随随着着荷荷载载的的增增大大，梁梁跨跨中中截截面面弯弯矩矩达达到到极极限限弯弯矩矩Mu，跨跨中中截截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度跨中挠度11-2 基本概念基本概念第8页/共67页可可以以继继续续增增大大而而承承载载力力不不能能增增大大，这这种种状状态态称称为为极极限状态限状态，相应的荷载称为，相应的荷载称为极限荷载极限荷载FPu。例例11-1-1 设设有有矩矩形形截截面面简简支支梁梁在在跨跨中中承承受
8、受集集中中荷荷载载作用作用(图图a)，试求极限荷载，试求极限荷载FPu。解解：由由M图图知知跨跨中中截截面面弯弯矩矩最最大大，在在极极限限荷荷载载作作用用下下，塑塑性性铰铰将将在在跨跨中中截截面面形形成成，弯矩达极限值，弯矩达极限值Mu(图图b)。11-2 基本概念基本概念第9页/共67页由此得出由此得出极限荷载极限荷载FPu，即有，即有 最最后后指指出出：这这几几个个概概念念是是非非常常重重要要的的。讨讨论论矩矩形形截截面面梁梁在在纯纯弯弯曲曲状状态态下下所所获获得得的的结结果果，利利用用其其它它形式的截面形状，也有类似的结果。形式的截面形状，也有类似的结果。由静力条件，有：11-2 基本概
9、念基本概念第10页/共67页 为为了了保保证证结结构构的的安安全全和和正正常常使使用用，设设计计中中除除了了进进行行强强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。11-2 基本概念基本概念 三、三、稳定问题稳定问题 1、三种不同性质的平衡、三种不同性质的平衡 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，恢复原位。干扰消失，恢复原位。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，
10、偏离原位，干扰消失，不能恢复原位。干扰消失，不能恢复原位。第11页/共67页结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。图图a所示理想中心受压直杆。当所示理想中心受压直杆。当F值达到值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图不能回到原来的直线位置，如图b。此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式式，也具有新的同时受压
11、和受弯的弯曲平衡形式这种现象为压杆这种现象为压杆丧失了第一类稳定性丧失了第一类稳定性。分支点失稳分支点失稳11-2 基本概念基本概念 2、两类不同形式的失稳、两类不同形式的失稳第12页/共67页 图图a所示承受均布水压力的圆环，当压所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡时，出现了新的非圆的平衡形式。形式。图图b所示承受均布荷载的所示承受均布荷载的抛物线拱，图抛物线拱，图c 所示刚架，荷所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡
12、形式。的新的平衡形式。图图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。斜弯曲和扭转。11-2 基本概念第13页/共67页丧失第一类稳定性的特征：丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。图图a所示由塑性材料制成所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当于同
13、时受压和弯曲的状态。当F达到临界值达到临界值Fcr时，荷载不增时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如加或减小，挠度仍继续增加如图图b丧失第二类稳定性。丧失第二类稳定性。极值点失稳极值点失稳 工程结构实际上均属于第二类稳工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。来处理。11-2 基本概念第14页/共67页比例加载的含义比例加载的含义假设条件假设条件一、比例加载的含义及相关假设一、比例加载的含义及相关假设 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个参数所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个参数F FP P表示表示;荷载参数荷载参数F
14、 FP P只是单调增大，不出现卸载现象。只是单调增大，不出现卸载现象。材料是理想弹塑性的。材料是理想弹塑性的。截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等。截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等。忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。11-3 比例加载一般规律第15页/共67页二、可破坏荷载和可接受荷载二、可破坏荷载和可接受荷载结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极限荷载必须同时满足下面三个条件限荷载必须同时满足下面三个条件平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或任平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或任一局部都能
15、维持平衡。一局部都能维持平衡。单向机构条件：单向机构条件：在极限状态下，在极限状态下，结构已有足够数量结构已有足够数量的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。荷载作正功的方向作单向运动。11-3 比例加载一般规律内力局限条件(屈服条件)：在极限状态下，结构任一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩第16页/共67页可破坏荷载可破坏荷载可接受荷载可接受荷载可破坏荷载可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。只满足平衡条件和单向机构条件。可接受荷载可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。只满
16、足平衡条件和内力局限条件。将满将满足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，用的荷载值，用 表示。表示。将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此荷载值称为可接受荷载用荷载值称为可接受荷载用 表示。表示。1
17、1-3 比例加载一般规律第17页/共67页基本定理基本定理:可破坏荷载可破坏荷载 恒不小于可接受荷载恒不小于可接受荷载 ，即，即唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是极限荷载。极限荷载。上限定理（极小定理）上限定理（极小定理）可接受荷载是极限荷载的下限。可接受荷载是极限荷载的下限。换言之，可接受荷载换言之，可接受荷载中的极大值是中的极大值是即极限荷载。即极限荷载。三、比例加载的一般定理三、比例加载的一般定理可破坏荷载是极限荷载的上限。可破坏荷载是极限荷载
18、的上限。换言之，可破坏荷载中换言之，可破坏荷载中的极小值的极小值即即是是极限荷载。极限荷载。下限定理（极大定理）下限定理（极大定理）11-3 比例加载一般规律第18页/共67页一、单跨超静定梁的极限荷载 为为了了求求得得极极限限荷荷载载，需需确确定定结结构构的的破破坏坏形形态态，即即确定塑性铰的位置及数量确定塑性铰的位置及数量。塑塑性性铰铰首首先先出出现现在在弯弯矩矩最最大大的的截截面面，随随着着荷荷载载的的增增大大，其其他他截截面面也也可可能能出出现现新新的的塑塑性性铰铰直直至至结结构构变为变为具有自由度的机构从而丧失承载能力具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。为止。极极限限荷荷载载的的求
19、求解解无无需需考考虑虑变变形形协协调调条条件件、结结构构变形的过程变形的过程以及以及塑性铰形成的次序。塑性铰形成的次序。11-4 超静定结构的极限荷载计算第19页/共67页 利用利用静力平衡方程静力平衡方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为静力法静力法。利用利用虚功方程虚功方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为虚功法。虚功法。例11-4-1 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。1）静力法：静力法：解解：结结构构在在A、C截截面面出现塑性铰。出现塑性铰。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解释解释11-4 超静定结构的极限荷载计算第20页/共67页 令令机机构构产产生生虚
20、虚位位移移，使使C C截截面面竖竖向向位位移移和和荷荷载载FPu同向，大小为同向，大小为。2）虚功法虚功法外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：由由We=Wi，可，可得：得：FPuCABMuMul/2l/2一次超静定一次超静定二个塑性铰二个塑性铰11-4 超静定结构的极限荷载计算第21页/共67页例11-4-2 求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。内力虚功内力虚功由由We=Wi，可得，可得所以有所以有quACBMuMuMu解：解：外力虚功外力虚功ACBql/2l/2三次超静定三次超静定三个塑性铰三个塑性铰11-4 超静定结构的极限荷载计算第22页/共67页例11-4-3 已知梁截面极限
21、弯矩为Mu，求极限荷载。解解:塑性铰位置：塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面截面及梁上最大弯矩截面C。整体平衡整体平衡BlqAquABl-xMuMuCx11-4 超静定结构的极限荷载计算第23页/共67页BCBC段平衡段平衡quxBCMuBCBC段平衡段平衡quxBCMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第24页/共67页11-4 超静定结构的极限荷载计算第25页/共67页例11-4-4 求图示梁的极限荷载。塑性铰的可能位置：塑性铰的可能位置：A A、B B、DD。ABCD解解:ABAB段极限弯矩为段极限弯矩为 ，BCBC段极限弯矩为段极限弯矩为Mu。ABCDFPuMuMu11-4 超静定结
22、构的极限荷载计算第26页/共67页1）B、D截截面面出出现现塑塑性性 铰铰，由由弯弯矩矩图图可可知知，只只有有当当 时时，此此破破坏形态才可能实现。坏形态才可能实现。ABCDFPuMuMuABCDFPuMuMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第27页/共67页ABCDFPuMuACDFPuMu2）A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只有当 即 时，此破坏形态才可能实现。11-4 超静定结构的极限荷载计算第28页/共67页3）当当 时时，则则前前面面两两种种破破坏坏形形态态均均可可能能出出现，则：现，则：为为了了计计算算超超静静定定结结构构的的极极限限荷荷载载，关关键键是是确确定定真真实实的的
23、破破坏坏形形态态，即即塑塑性性铰铰的的数数量量及及位位置置。无无需需考考虑虑变变形形协协调调条条件件，也也不不受受温温度度变变化化和和支支座座移移动动等等因因素素的的影影响响，因因为为这这些些因因素素只只影影响响变变形形的的发发展展过过程程，并不影响极限荷载的大小。并不影响极限荷载的大小。11-4 超静定结构的极限荷载计算第29页/共67页 假假设设:1）连连续续梁梁每每一一跨跨内内等等截截面面，但但各各跨跨的的截截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。因因此此，连连续续梁梁只只能能
24、在在各各跨跨独独立立形形成成破破坏坏机机构构，而而不不能能由由相相邻邻两两跨跨联联合合形形成成破破坏坏机机构构。因因为为各各跨跨在在竖竖向向荷荷载载作作用用下下，每每跨跨内内的的最最大大负负弯弯矩矩只只可可能能在在各各跨两端出现，即负塑性铰只可能跨两端出现，即负塑性铰只可能出现在出现在两端。两端。二、连续梁的极限荷载 主要讨论连续梁破坏机构的形式。11-4 超静定结构的极限荷载计算第30页/共67页 连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。11-4 超静定结构的极限荷载计算第31页/共67页例例1
25、1-4-5 求连续梁的极限荷载。求连续梁的极限荷载。解：解：1)AB跨跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2MuFPABCFPu1MuMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第32页/共67页2)BCBC跨跨ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu注意注意B B点点11-4 超静定结构的极限荷载计算第33页/共67页例例11-4-6 在在图图（a）所所示示的的连连续续梁梁中中，每每跨跨为为等等截截面面。设设AB和和BC跨跨的的正正极极限限弯弯矩矩为为Mu，CD跨跨的的正正极极限限弯弯矩矩为为2Mu；又又各各跨跨负负极极限限弯弯矩矩为为正正极极限限弯弯矩矩的的1.2倍。试求此连续梁的极限
26、荷载倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l0.5l0.75l0.75l解：解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。11-4 超静定结构的极限荷载计算第34页/共67页(b)1.2MuMu注注意意：塑塑性性铰铰处处的的极极限限弯弯矩矩与与由由它它产产生生的的转转角角方向一致。方向一致。AB跨破坏时(图b)：11-4 超静定结构的极限荷载计算第35页/共67页(c)1.2Mu1.2MuMuBC跨破坏时(图c)：CD跨破坏时(图d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu11-4 超静定结构的极限荷载计算第36页/共67页 比较比较
27、可知，可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：跨首先破坏，极限荷载为：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu11-4 超静定结构的极限荷载计算第37页/共67页 本本节节仅仅限限于于讨讨论论单单层层单单跨跨刚刚架架的的极极限限荷荷载载。对对于于刚刚架架，首首先先要要确确定定塑塑性性铰铰可可能能产产生生的的截截面面位位置置，然然后后根根据据可可能能的的破破坏坏机机构构用用机机构构法法或或试试算算法法求求极极限限荷载。荷载。例例11-4-7 求刚架的求刚架的极限荷载。极限荷载。ABCDEFPFPMu1.5MuMu解：解：1、机构法、机构法刚架可在刚架可在A A、B B、C C、D D、E E产生产生塑性铰塑性
28、铰。一、钢架的极限荷载11-4 超静定结构的极限荷载计算第38页/共67页三种可能的破坏机构为：三种可能的破坏机构为：梁机构；梁机构；侧移机构；侧移机构；组合机构。组合机构。1）梁机构ABCDEMu1.5MuMua)梁机构11-4 超静定结构的极限荷载计算第39页/共67页2）侧移机构b)侧移机构ABCDEMuMuMuMuc)组合机构ABCDE1.5MuMuMuMu3）组合机构11-4 超静定结构的极限荷载计算第40页/共67页可见，极限荷载为：可见，极限荷载为：若若分分别别选选定定上上述述三三种种破破坏坏机机构构：梁梁机机构构、侧侧移移机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。机构和组合机构，
29、则求出的可破坏荷载同上。下下面面分分别别画画出出三三种种破破坏坏机机构构对对应应的的弯弯矩矩图图，检检验验结结构构任任一一截截面面弯弯矩矩是是否否均均小小于于Mu，若若结结论论成成立立，则则 也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。2.试算法11-4 超静定结构的极限荷载计算第41页/共67页1）梁机构由由BDBD杆平衡可求得杆平衡可求得整体平衡：整体平衡：故故MA和和ME中中一一定定有有一一个个数数值值大大于于Mu，不不满满足足内力局限条件。内力局限条件。ABCDEMu1.5MuMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第42页/共67页2）侧移机构用叠加
30、法画用叠加法画BDBD杆弯矩图可得：杆弯矩图可得：。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。ABCDEMu2MuMuMuMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第43页/共67页3）组合机构可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：柱柱DEDE下端剪力为：下端剪力为：柱柱BABA下端剪力为：下端剪力为：由柱由柱ABAB平衡可得：平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMuMuMu11-4 超静定结构的极限荷载计算第44页/共67页 解：解：取组合机构，近似取梁取组合机构，近似取梁BC的跨中截面产生塑性铰。的跨中截面产生塑性铰。
31、MuMuABCD2MuFPMuABCD2MuMuMu例11-4-8 求刚架的极限荷载。11-4 超静定结构的极限荷载计算第45页/共67页 作结构作结构M 图，求得跨中图，求得跨中附近截面最大弯矩为：附近截面最大弯矩为：用因子2/2.07对 进行 故故 不是不是极限荷载，应进行修正。极限荷载，应进行修正。折折减得：减得：实际上应有实际上应有取两者平均值取两者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu11-4 超静定结构的极限荷载计算第46页/共67页确定临界荷载的方法确定临界荷载的方法静力法静力法应用静力平衡条件求解；应用静力平衡条件求解；能量法能量法应用以能量形式表示的平衡条
32、件。应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态：为确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数的数目。所需的独立参数的数目。图图a所示所示支承在抗转支承在抗转弹簧上的刚弹簧上的刚性压杆，确性压杆，确定失稳时变定失稳时变形状态的独形状态的独立参数为立参数为1，只有只有一个自一个自由度由度。图图b所示结所示结构，则构，则需两个需两个独立参独立参数，具数，具有有两个两个自由度自由度。图图c所所示弹性压示弹性压杆，则需杆，则需无限多个无限多个独立参数，独立参数，具有具有无限无限多自由度多自由度。11-5 压杆临界荷载第47页/共67页静力法静
33、力法依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。即为临界荷载。图图a所示单自由度结构，设压杆偏所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。由由MA=0有有当当 时上式满足，对应原有的平衡形式时上式满足，对应原有的平衡形式位移很小时可认为位移很小时可认为故有故有稳定方程或特征方程稳定方程或特征方程对于新的平衡形式，对于新的平衡形式，则有则有11-5 压杆临界荷载第48页/共67页由稳定方程解得由稳
34、定方程解得结构处于随遇平衡状态，如图结构处于随遇平衡状态，如图c中的中的AB段。段。若采用精确的方程则有若采用精确的方程则有若只求临界荷载，可采用近似方程求解。若只求临界荷载，可采用近似方程求解。当当 时，时，与与F的数值仍是一一对应的，的数值仍是一一对应的，如图如图c中的中的AC段。段。n个自由度的结构个自由度的结构对新的平衡形式列出对新的平衡形式列出n个平衡方程个平衡方程n个独立参数的齐次方程个独立参数的齐次方程系数行列式系数行列式D=0的条件的条件建立稳定方程建立稳定方程n个根中的最小值为个根中的最小值为临界荷载临界荷载11-5 压杆临界荷载第49页/共67页例例11-5-1 试求图试求
35、图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的 刚均为刚均为k。解：结构有两个自由度，失稳时解：结构有两个自由度，失稳时A、B点的位移如图点的位移如图b。设位移是微小的，由设位移是微小的，由MB=0，MC=0即即y1、y2不全为零，则应有不全为零，则应有展开展开解得解得临界荷载临界荷载11-5 压杆临界荷载第50页/共67页由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。的确定解答，但可以求出两者的比值。将将代回代回(a)式可得式可得相应的位移图如图相应的位移图如图c。将将代回代回(a)式可得式可得相应的位移图如图相应的位移图如图d。实际
36、结构必先以图实际结构必先以图d的形式失稳，图的形式失稳，图c只是理论上存在。只是理论上存在。11-5 压杆临界荷载第51页/共67页例11-5-3 图图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹 性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一 截面的弯矩为截面的弯矩为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为令令微分方程的通解为微分方程的通解为边界条件为边界条件为代入通解得代入通解得(b)11-5 压杆临界荷载第52页/共67页 方程方程(b)是关于是关于A、B、FS/F的齐次方程组，的齐次方程组，A=B=FS/F
37、=0时时满足，此时各点位移满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为的系数行列式应为零，得稳定方程为展开展开此超越方程图解法求解，如图此超越方程图解法求解，如图b。与与 交点的横坐标即为方程的根。最交点的横坐标即为方程的根。最小根小根nl在在3/24.7左侧附近，试算左侧附近，试算求得准确解。求得准确解。求得临界荷载值为求得临界荷载值为11-5 压杆临界荷载第53页/共67页势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件 的一
38、切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即为驻值，即V结构的应变能；结构的应变能；V外力势能。外力势能。外力势能定义为外力势能定义为 Fi 结构上的外力结构上的外力i 与外力相应的虚位移与外力相应的虚位移有限自由度结构有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。只是这有限个独立参数的函数。单自由度结构单自由度结构EP只是参数只是参数a1的一元函数，势能的变分为的一元函数，势能的
39、变分为结构处于平衡时结构处于平衡时是任意的是任意的 故故11-5 压杆临界荷载第54页/共67页由由可建立稳定方程以求解临界荷载。可建立稳定方程以求解临界荷载。多自由度结构势能的变分为多自由度结构势能的变分为由由EP=0及及a1，a2，an的任意性，必须有的任意性，必须有 由此获得一组含由此获得一组含a1，a2，an的齐次线性代数的齐次线性代数方程，要使方程，要使a1，a2，an不全为零，则此方程组的不全为零，则此方程组的系数行列式应为零系数行列式应为零建立稳定方程建立稳定方程确定临界荷载。确定临界荷载。11-5 压杆临界荷载第55页/共67页例例11-5-4 图图a所示压杆所示压杆EI为无穷
40、大，上端水平弹簧的刚度为为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k，试确定其临界荷载。试确定其临界荷载。解：单自由度结构失稳时发生微小的偏解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图离如图b。弹簧的应变能为弹簧的应变能为外力势能为外力势能为结构的势能为结构的势能为若图若图b结构能维持平衡则有结构能维持平衡则有y10，故，故临界荷载为临界荷载为11-5 压杆临界荷载第56页/共67页例例11-5-5 用能量法求图用能量法求图a所示结构的临界荷载。所示结构的临界荷载。解：结构具有两个自由度，失稳时发生解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图图b所示位移。所示位移。结构处于平衡时结构处于平衡时结构的势能为结构的势
41、能为y1、y2不能全为零不能全为零11-5 压杆临界荷载第57页/共67页展开整理得展开整理得解得解得最小值为临界荷载最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：时发生弯矩变形，应变能为：代入代入将将任一微段任一微段ds与其投影与其投影dx之差为之差为此式沿杆长此式沿杆长l积分得积分得11-5 压杆临界荷载第58页/共67页外力势能为外力势能为结构的势能为结构的势能为挠曲线挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。是未知的，它可以看作无限多个独立参数。EP是挠曲线函数是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，的函数，即是一个泛函
42、，EP=0是求泛函是求泛函极值的问题极值的问题变分问题。变分问题。瑞利瑞利-李兹法李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。：将无限自由度近似简化为有限自由度。设设满足位移边界条件的已知函数满足位移边界条件的已知函数任意参数任意参数结构所有变形状态由结构所有变形状态由a1，a2，an所确定，简化为所确定，简化为n个自由度。个自由度。11-5 压杆临界荷载第59页/共67页如果在如果在(1)式中只取一项：式中只取一项：是简化为单自由度求解。是简化为单自由度求解。通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线例例13-5 试求图试求图a
43、所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度 结构计算。结构计算。(1)设挠曲线为正弦曲线设挠曲线为正弦曲线显然显然y满足位移边界条件满足位移边界条件结构的势能为结构的势能为11-5 压杆临界荷载第60页/共67页而而a0，故有，故有得得与精确解相同，特殊情形。与精确解相同，特殊情形。(2)设挠曲线为抛物线设挠曲线为抛物线满足位移边界条件满足位移边界条件由由和和a0，可求得，可求得误差达误差达21.6%。11-5 压杆临界荷载第61页/共67页(3)图图b所示挠曲线作为近似曲线所示挠曲线作为
44、近似曲线由由和和a0，可求得，可求得误差仅为误差仅为1.3%。11-5 压杆临界荷载第62页/共67页例例11-5-6 试求图示压杆的临界荷载。试求图示压杆的临界荷载。解：按两个自由度计算，查表取级数的解：按两个自由度计算，查表取级数的 前两项前两项a1、a2不全为零应有不全为零应有整理得整理得比精确解大比精确解大3.6%。11-5 压杆临界荷载第63页/共67页例例11-5-7 试求图试求图a所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。载。解：压杆承受的是均布荷载。解：压杆承受的是均布荷载。如图如图b，微段，微段ds的转角为的转角为y(x)，微段以上部分的竖向位移为微段以上部分的竖向位移为 微段以上部分荷载微段以上部分荷载FS=q(l-x)在此位移上作功为在此位移上作功为外力势能为外力势能为查表取三角级数的前两项有查表取三角级数的前两项有11-5 压杆临界荷载第64页/共67页11-5 压杆临界荷载第65页/共67页a1、a2不全为零应有不全为零应有整理得整理得方程的最小根即为临界荷载方程的最小根即为临界荷载此问题的精确解为此问题的精确解为11-5 压杆临界荷载第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页