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1、第六节第六节 利用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆矩阵 定义定义18 n阶单位阵经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵初等矩阵，简称初等初等阵阵。4/15/20231线性代数教学课件4/15/20232线性代数教学课件 (2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行（列）得到的方阵，记为E(i(k),即4/15/20233线性代数教学课件(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，记为E(i+k(j),即4/15/20234线性代数教学课件初等矩阵具有下列性质初等矩阵具有下列性质（1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵仍为同类初等阵，即（2）对mn矩阵A
2、作一次初等行变换，相当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵；对mn矩阵A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。4/15/20235线性代数教学课件证明证明：4/15/20236线性代数教学课件4/15/20237线性代数教学课件4/15/20238线性代数教学课件4/15/20239线性代数教学课件定理定理3推论推论14/15/202310线性代数教学课件证明证明：4/15/202311线性代数教学课件4/15/202312线性代数教学课件定理定理4 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为有限个初等矩阵之积。证明证明：充分性如果A可以表示为有限个初等矩阵之积，因初等矩阵可逆，而可逆矩阵的乘积仍为可逆阵，故A一定可逆。4/15/202313线性代数教学课件4/15/202314线性代数教学课件4/15/202315线性代数教学课件4/15/202316线性代数教学课件4/15/202317线性代数教学课件4/15/202318线性代数教学课件