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1、2.6 用初等变换求逆矩阵,一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程,一、等价定理,定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：,（1）A是可逆的 ；,（2）AE，E是n阶单位矩阵；,（3）存在n阶初等矩阵,（4）A可经过有限次初等变换化为E.,证明1 （1）（2）易证明(见书上证明),（2）（3）,因为A E，,再由矩阵,那么，把E变为A的初等变换,即有：,等价的对称性，,有 E A 。,所对应的初等矩阵为,，所以,（3）（4）,，由,有,由于,仍是初等矩阵，上式说明对A,实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。,（4）（1）,设A可经有限次初等行变换可化为E，,则存在初等矩阵,，使
2、,由于,初等矩阵,可逆，,所以A可逆。,证毕。,分析:,A 可逆,上式表明: 若, 则 A 可逆, 且 X 即为,AX = B 的解 X = A1B.,特别, 若,即如何求 X = A1B ?,给定n 阶可逆方阵 A 及 ns 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?,即有,例1：设,，试用初等变换法求,解：,所以,例2. 设,问B是否可逆？,解法1.,若可逆，求其逆阵 B 1。,可见B不可逆, B不可逆,一、二两行相同 ！,解法2. 利用 “A可逆 A ”,例3. 求解,解: 原方程变形为,可见 A E 可逆, 且,注: 若要求,思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?,方法一：,方法二：,内容小结,1. 矩阵的初等变换与初等矩阵,2. 用初等变换法求矩阵的逆 :,作业 P64. 25(1), （2）,注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵,用初等矩阵右乘 A 对A 作列变换,3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A1B :,4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵,解 YA = C 转化为解,用初等矩阵左乘 A 对A 作行变换,