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1、返回返回66 利用初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、求矩阵的秩的初等变换法二、求矩阵的秩的初等变换法1返回返回例如例如:一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换2返回返回3返回返回定义定义13.对矩阵对矩阵 施行下列变换施行下列变换:(其中其中k为不等于零的数为不等于零的数.)这三种变换称为矩阵这三种变换称为矩阵A的的初等行变换初等行变换.相应的有相应的有初等列变换初等列变换.初等行变换、初等列变换统称为初等行变换、初等列变换统称为初等变换初等变换.定义定义14.14.如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换经过有限次初等变换变成变成B,则则称矩阵称矩阵A
2、与与B是是等价的，记作等价的，记作4返回返回性质性质：5返回返回定理四定理四.(1).若若AB,经行变换经行变换则则 R(A)=R(B);6返回返回(2).若若A经列变换经列变换B,则则 R(A)=R(B);(3).若若A B,则则 证明证明:证证(1).7返回返回 行向量组等价行向量组等价,则行秩相等则行秩相等.从而行秩从而行秩=列秩列秩=R(A)=R(B).证毕证毕.8返回返回例如例如:D0(阶梯阵阶梯阵)例例.求矩阵的秩求矩阵的秩9返回返回解解:A10返回返回=B11返回返回D0.A B C.R(A)=R(B)=R(C).12返回返回A经有限次经有限次行行变换变换B(阶梯形阶梯形),则则
3、B 中中非零行的个数非零行的个数 r,就是就是 A 的秩的秩,即即 R(A)=r.阶梯形阶梯形:每一行第一个非零元素所在列的每一行第一个非零元素所在列的下方全为零下方全为零.例如例如:已知向量已知向量组组问是否线性问是否线性相关相关,并求它的最大无关组并求它的最大无关组(前例前例).二、求矩阵的秩的初等变换法二、求矩阵的秩的初等变换法13返回返回註註:C 经过列变换经过列变换(0化化)此阵叫做此阵叫做 A 的标准形的标准形.(1).若矩阵若矩阵的秩为的秩为r(r 0),则则I 称为称为A 的标准形的标准形,14返回返回(2).若若AB,则则 R(A)=R(B),从而从而 A 与与 B 有相同的标准形有相同的标准形.若若 A 为可逆阵为可逆阵(即即|A|0),则则 R(A)=n,从而从而 A 的标准形为的标准形为 n 阶单位阵阶单位阵,E.即即 A15