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1、1二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第六节第六节 函数的连续性（一）函数的连续性（一）这种现象表现在函数关系上称为函数的这种现象表现在函数关系上称为函数的连续性连续性 气温随时间气温随时间连续变化连续变化；树干的高度随；树干的高度随时间变化时间变化连续不断连续不断的长高。的长高。自然界中有很多自然界中有很多连续现象连续现象发生发生函数的连续性表现在图像上是一条函数的连续性表现在图像上是一条连绵不断连绵不断的曲线的曲线1-1xyoy=sgn（x）3观察图像：观察图像：oxyyx1o2yxo13x=0处处无极限无极限.4可见可见,函数函数一、一、函数连续性
2、的定义函数连续性的定义1.定义定义:的某邻域内有的某邻域内有定义定义,(1)(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:且且5例例1.证：证：由定义由定义1知：知：例例2.解：解：6(1)函数的增量函数的增量:即即即即7左连续左连续右连续右连续请思考：函数在点请思考：函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与的区别与联系联系.8说明：说明：2)三个连续的定义的主要作用：三个连续的定义的主要作用：常用于常用于函数在具体点函数在具体点连续性的判断连续性的判断.常用于常用于函数在任意点函数在任意点连续性的判断连续性的判断.常用于分段函数常用于分段函数分
3、段点处分段点处连续性的判断连续性的判断.1)函数在点函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与联系的区别与联系.反之不一定成立反之不一定成立.yx1o9例例4.设设解解:解：解：左连续左连续右不连续右不连续例例3.试讨论函数试讨论函数在在处的连续性处的连续性.10(1)(2)极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:二、二、函数的间断点函数的间断点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,1.间断点的定义：间断点的定义：2.间断点的分类间断点的分类:第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:间断点间断点112.间断点分类间断点分类:(1)第一类间断点第
4、一类间断点(2)第二类间断点第二类间断点12为其为其无穷间断点无穷间断点.为其为其振荡间断点振荡间断点.为为可去间断点可去间断点.例如例如:13显然显然为其为其可去间断点可去间断点.(4)(5)为其为其跳跃间断点跳跃间断点.14注意注意:可去间断点只要可去间断点只要改变改变或者或者补充补充间断点处函数的间断点处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.为为可去间断点可去间断点.如如补充定义补充定义：时时则函数在则函数在 处就连续了处就连续了.153.连续函数与连续区间连续函数与连续区间定义定义1:在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的
5、连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续,该区间该区间叫函数的叫函数的连续区间连续区间.连续函数的图形是一条连续函数的图形是一条连续而不间断连续而不间断的曲线的曲线.例如例如:因为因为 结论结论:基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.16思考题思考题 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解解:间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故为跳跃间断点为跳跃间断点.17刚学过的主要内容：刚学过的主要内容：第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在