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1、关于函数连续性定义和间断点第一张，PPT共四十八页，创作于2022年6月第二张，PPT共四十八页，创作于2022年6月第三张，PPT共四十八页，创作于2022年6月一、一、函数在一点的连续性函数在一点的连续性可见可见,函数函数在点在点(1)在点在点即即(2)极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;有定义有定义,存在存在;1.定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称函数则称函数设函数设函数且且第四张，PPT共四十八页，创作于2022年6月注意注意:在在点连续点连续,则极限运算和函数运则极限运算和函数运算算 可以交换顺序。即：可以交换顺序。即：(1)若若(2)
2、函数函数存在存在例例1:讨论函数讨论函数 在点在点处的连续性处的连续性 第五张，PPT共四十八页，创作于2022年6月2.函数函数 在在 点连续的等价定义点连续的等价定义定义：设函数定义：设函数 自变量由自变量由 变到变到 ,则则叫做叫做自变量的增量自变量的增量；相应的函数值由；相应的函数值由 变到变到 ,则则 叫做叫做函数值函数值 的增量的增量（改变量）（改变量）第六张，PPT共四十八页，创作于2022年6月当时,有函数函数在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:右连续左连续第七张，PPT共四十八页，创作于2022年6月例例2.2.证明函数证明函数在在点连续点连续.定义定义1 1：若：
3、若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在则称它在该区间上连续该区间上连续,或称它为该或称它为该区间上的连续函数区间上的连续函数.同理可证：函数同理可证：函数在在点连续点连续.3.3.区间上的连续函数区间上的连续函数.第八张，PPT共四十八页，创作于2022年6月连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.由例由例2 2知函数知函数及及 在其定义域区间在其定义域区间内是连续的内是连续的第九张，PPT共四十八页，创作于2022年6月二、二、函数的间断点函数的间断点若函数在点不连续，则称 在点 间断，称为间断点间断点.在在(1)函数(2)函数不存在;
4、(3)函数存在,但 不连续:则下列情形之一函数 在点虽有定义,但虽有定义,且在无定义;第十张，PPT共四十八页，创作于2022年6月1.1.可去间断点可去间断点，则称，则称 为为 的可去间断点的可去间断点但但如果如果 ，而，而 在在 点无定义，或者有定义点无定义，或者有定义例例2 2：设：设,讨论在讨论在x=1x=1的连续性的连续性第十一张，PPT共四十八页，创作于2022年6月注意：注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例3 3：设：设,讨论在讨论在x=0 x=0处的连续性处的连续性解解:第十二张
5、，PPT共四十八页，创作于2022年6月2.2.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4：解解则称则称 为函数为函数 的跳跃间断点的跳跃间断点如果如果 在在 点存在左、右极限，但点存在左、右极限，但第十三张，PPT共四十八页，创作于2022年6月跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点：特点：3.3.第二类间断点第二类间断点则称则称 为为 的第二类间断点的第二类间断点函数函数 在在 点的左、右极限至少有一个不存在，点的左、右极限至少有一个不存在，例例5 5：处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数第十四张，PPT共四十八页，创作于2022年6月例例6 6解解
6、第十五张，PPT共四十八页，创作于2022年6月例例7 7解解第十六张，PPT共四十八页，创作于2022年6月三、小结三、小结1.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点间断点间断点(见下图见下图)可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有左右极限至少有一个不存在一个不存在第十七张，PPT共四十八页，创作于2022年6月第第一一类类间间断断点点oyx
7、跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyx可去型可去型oyx第十八张，PPT共四十八页，创作于2022年6月四、连续函数的性质与运算性四、连续函数的性质与运算性性质性质1:1:（局部有界性）（局部有界性）若函数若函数 在在 点连续点连续则存在则存在 的一个邻域的一个邻域 及定值及定值 ，当，当时，有时，有 。当当 时，时，性质性质2:2:（局部保号性）（局部保号性）若函数若函数 在在 点连续点连续，则存在，则存在 的一个邻域的一个邻域 ，有有 第十九张，PPT共四十八页，创作于2022年6月性质性质3 3：（连续函数的四则运算法则）：（连续函数的四则运算法则）例如
8、：例如：例例1 1：证明函数：证明函数 在在 内是连续的。内是连续的。第二十张，PPT共四十八页，创作于2022年6月性质性质4 4：（复合函数的连续性）：（复合函数的连续性）例例2 2：讨论函数：讨论函数 的连续性。的连续性。在在 上连续，上连续，在在 上各自连续连续，上各自连续连续，解：函数解：函数 可以看做是由可以看做是由 ，复合而成的，复合而成的，在在 上各自连续。上各自连续。所以所以第二十一张，PPT共四十八页，创作于2022年6月性质性质5 5：（反函数的连续性）：（反函数的连续性）连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续且严格单调递增（
9、递减）的函数且严格单调递增（递减）的函数.五、初等函数的连续性五、初等函数的连续性定理定理2 2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.例如例如,定理定理1 1：基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.第二十二张，PPT共四十八页，创作于2022年6月备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.第二十三张，PPT共四十八页，创作于2022年6月1 1、解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第二十四张，PPT共四十八页，创作于2022年6月2 2、解解第二十五张，PPT共四十八页，创作于2022年6月四、
10、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第二十六张，PPT共四十八页，创作于2022年6月思考题思考题第二十七张，PPT共四十八页，创作于2022年6月思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点第二十八张，PPT共四十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题第二十九张，PPT共四十八页，创作于2022年6月第三十张，PPT共四十八页，创作于2022年
11、6月第三十一张，PPT共四十八页，创作于2022年6月练习题答案练习题答案第三十二张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点震荡间断点第三十三张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点第三十四张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.第三十五张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎呀哎呀,不好不好!有个
12、有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，我，连上了，我和其他的点连上了！和其他的点连上了！第三十六张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎呀哎呀,太高太高了了!够不够不着，又有个着，又有个洞洞,我我还是掉下去了还是掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，我，连上了，我和其他的点连上了！和其他的点连上了！第三十七张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎呀哎呀,太低太低了了!跳不跳不上去，唉，只能在上去，唉，只能在下面呆着了下面呆着了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上
13、了，我，连上了，我和其他的点连上了！和其他的点连上了！第三十八张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎呀哎呀,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？第三十九张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点第四十张，PPT共四十八页，创作于2022年6月间断的演示：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi,小蓝点，你停不住，我也停
14、不住啊。还想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。第四十一张，PPT共四十八页，创作于2022年6月有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示:第四十二张，PPT共四十八页，创作于2022年6月1当时，较(A)等价无穷小量 (B)同阶无穷小量(C)低阶无穷小量 (D)高阶无穷小量是 （）课堂测验课堂测验第四十三张，PPT共四十八页，创作于2022年6月2下列各式中正确的是 （）B C D A第四十四张，PPT共四十八页，创作于2022年6月3无穷小量是（）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零4.已知已知，则则a=_。5.计计算算第四十五张，PPT共四十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题第四十六张，PPT共四十八页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共四十八页，创作于2022年6月练习题答案练习题答案第四十八张，PPT共四十八页，创作于2022年6月