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1、 数学分析（上）数学分析（上）第七节第七节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一一 、连续函数的概念连续函数的概念 设设 在在U(x0)内有定义内有定义,称称 x=x-x0 为自变量在为自变量在 x0 处的改变量处的改变量(或或增量增量);称称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的为函数值的改变量改变量(或或增量增量).定义定义1 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有的某一邻域内有定义定义,若若 或或或或 ，则称函数，则称函数 在点在点 处处连续连续.数学分析（上）数学分析（上）*亦可用亦可用 语言表述语言表述.定义定义2 (左连续和右连续的概念左连续和右连续的概念
2、)若若 ,则称函数则称函数在点在点 处处左连续左连续.若若 ,则称函数则称函数 在点在点 处处右连续右连续.所以定义可简化为所以定义可简化为:若若 ,则函数则函数 在点在点 连续连续.数学分析（上）数学分析（上）性质性质 函数函数 在点在点 连续的充要条件是连续的充要条件是 在在 处既左连续又右连续处既左连续又右连续.例例 1 讨论函数讨论函数在点在点 处的连续性处的连续性.解：因为解：因为所以所以,故函数在点故函数在点 处的连续处的连续.数学分析（上）数学分析（上）例例2 设设 ，求，求 a,b 使使在在 处连续处连续.解解 因为因为要使要使 在在 处连续，则必须处连续，则必须解得解得 .数
3、学分析（上）数学分析（上）定义定义3 若若 在在 内每一点连续内每一点连续,则称则称 在在 内连续内连续;若区间包括端点若区间包括端点,在左端在左端点点 处是右连续处是右连续,右端点右端点 处是左连续处是左连续,则称则称 在闭区间在闭区间 上是连续函数上是连续函数.例如例如 在在 R 上是连续函数上是连续函数.例例3 证明证明 在在 R 上是连续函数上是连续函数.数学分析（上）数学分析（上）二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类 定义定义4 设函数设函数 在在 或或 内有内有定义定义.若若 不是不是 的连续点的连续点,则称则称 是是 的间断点的间断点.数学分析（上）数学分析（上）存在
4、存在,但但是是若若 是是 的间断点的间断点,则可能出现的情况有则可能出现的情况有:（1）在在 处处有定义有定义不存在不存在都存都存都存都存在但不等在但不等在但不等在但不等.至少至少至少至少有一个不存在有一个不存在有一个不存在有一个不存在.称称称称 为为为为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点.称称称称 为为为为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点称称称称 为为为为第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点统统统统称称称称为为为为第第第第一一一一类类类类间间间间断断断断点点点点（2）在在 处处没定义没定义 存在存在为为为为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点.不存在不存在,讨论
5、同讨论同(1).数学分析（上）数学分析（上）例例4 在在 处有定义，且处有定义，且，但但 ，所以所以 为函数为函数 的第一类的第一类(可去可去)间断点间断点.例例5 在在 处有定义，但处有定义，但不存在，所以不存在，所以 为为 第一类间断点第一类间断点.数学分析（上）数学分析（上）例例6 在在 处无定义，所以处无定义，所以 为函数为函数 的间断点的间断点.因因故故 为为 的第二类间断点的第二类间断点(也称也称无穷间断点无穷间断点).).例例7 Dirchlet 函数处处不连续函数处处不连续,每点是第二类间断点每点是第二类间断点.数学分析（上）数学分析（上）例例8 求求 的间断点，并判断其类型的
6、间断点，并判断其类型.解：由解：由 ，得得 (）由于由于所以所以 为为 的第一类间断点；的第一类间断点；()()为为 的第二类间断点的第二类间断点.数学分析（上）数学分析（上）例例9 讨论讨论 的连续性的连续性,若有间断点若有间断点判断其类型判断其类型.解解当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，数学分析（上）数学分析（上）所以所以在在 处，处，所以所以 为为 的第一类间断点的第一类间断点.同理同理 也是也是 的第一类间断点的第一类间断点.数学分析（上）数学分析（上）定理定理1 若函数若函数f 在在a,b上有定义且单调，则上有定义且单调，则 f 在在a,b内若有间断点，只能是第一类间断点。内若有间断点，只能是第一类间断点。定理定理2 若函数若函数 f 在点在点x0处连续，则处连续，则 f 在在x0的某的某个邻域内有界。个邻域内有界。数学分析（上）数学分析（上）定理定理3 若若 在点在点 连续且连续且 ，则存在则存在 的某一的某一 ，当，当 时，时，证：因为证：因为不妨设不妨设 ，则由，则由局部保号性局部保号性定理知定理知存在存在 ，使得当，使得当 时，时，数学分析（上）数学分析（上）思考思考反之不成立反之不成立.例例但但