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1、1.9 函数的连续性与函数的连续性与间断点间断点1 判断间断点的类型判断间断点的类型教学要求教学要求：理解理解函数连续的概念，函数连续的概念，会会判断判断 函数间断点的类型函数间断点的类型重点内容重点内容：2 根据连续性确定某些数的取值根据连续性确定某些数的取值一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量注：增量可为正亦可为负注：增量可为正亦可为负 例例1：设：设函数函数，求当，求当 函数函数 y 的增量的增量 时时解解 2.连续的定义连续的定义注意注意：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关例例2 2证证由定义由定义2知知例例 3是定义
2、于是定义于上的单调增加函数，上的单调增加函数，若若存在，存在，证证设设由于由于单调增加，单调增加，则则当当时，时，当当时，时，由此可见，由此可见，即即因此因此在在连续连续.证明证明在在连续连续.3.单侧连续单侧连续定理定理例例4 4解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,例例5 5证证注：注：二、函数的间断点二、函数的
3、间断点例如例如 x=0是它的间断点是它的间断点 间断三情形：间断三情形：间断点分类：间断点分类：例例5 5例例6 6解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中,例例7 7解解例例8 8解解狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.如如注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例例9 9解解要使函数在要使函数在 x=0处连续，则必须处连续，则必须 例例10 10 讨论函数讨论函数解解小结小结1.会判断间断点的类型会判断间断点的类型2.会由连续的条件讨论某些待定常数的取值会由连续的条件讨论某些待定常数的取值;作业作业A：习题习题1 9:3(2,4),4,5,6 作业作业B：习题习题1 9:3(2,4),5,6 思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但