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1、有理函数积分第1页，共22页，编辑于2022年，星期六有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的部分分式分解m n 时称为真分式时称为真分式,m n 时称为假分式时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.其一般形式为其一般形式为:第2页，共22页，编辑于2022年，星期六1.对分母对分母 Q(x)在实数系内作标准分解在实数系内作标准分解:2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分分解步骤称为部分分式分解分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下具
2、体步骤简述如下:真分式又可化为真分式又可化为与与之和之和,其其式式.对应于对应于的部分分式是的部分分式是第3页，共22页，编辑于2022年，星期六把所有部分分式加起来把所有部分分式加起来,使之等于使之等于 Q(x),由此确定由此确定对应于对应于的部分分式是的部分分式是上述部分分式中的待定系数上述部分分式中的待定系数 Ai ,Bi,Ci .第4页，共22页，编辑于2022年，星期六3.确定待定系数的方法确定待定系数的方法 把所有分式通分相加把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子所得分式的分子与原分子上述待定系数法还可以用较上述待定系数法还可以用较简单的方法来代替简单的方法来代替.组组,由此解
3、出待定系数由此解出待定系数.必定相等的原则必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程得到待定系数所满足的线性方程 P(x)应该相等应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数根据两个多项式相等时同次项系数 第5页，共22页，编辑于2022年，星期六分式分解分式分解.例例1作部分作部分第6页，共22页，编辑于2022年，星期六第7页，共22页，编辑于2022年，星期六比较同次项系数比较同次项系数,得到线性方程组得到线性方程组解得解得于是完成了于是完成了R(x)的部分分式分解的部分分式分解:第8页，共22页，编辑于2022年，星期六任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形任何有理真分式的不定积分都
4、可化为如下两种形二、有理真分式的递推公式下面解这两类积分下面解这两类积分.式的不定积分之和：式的不定积分之和：第9页，共22页，编辑于2022年，星期六第10页，共22页，编辑于2022年，星期六第11页，共22页，编辑于2022年，星期六第12页，共22页，编辑于2022年，星期六解得解得第13页，共22页，编辑于2022年，星期六解解 由例由例1,例例2其中其中第14页，共22页，编辑于2022年，星期六于是于是第15页，共22页，编辑于2022年，星期六例例3解解 由于由于而而第16页，共22页，编辑于2022年，星期六由递推公式由递推公式第17页，共22页，编辑于2022年，星期六于是于是第18页，共22页，编辑于2022年，星期六解解 由于本例由于本例的分母只有单一因式的分母只有单一因式,故部分因式分解能故部分因式分解能简化为简化为例例3其中其中第19页，共22页，编辑于2022年，星期六其中其中第20页，共22页，编辑于2022年，星期六第21页，共22页，编辑于2022年，星期六 作业题作业题P198 1P198 1第22页，共22页，编辑于2022年，星期六