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1、重积分应用第1页，共30页，编辑于2022年，星期三1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共30页，编辑于2022年，星期三一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共30页，编辑于2022年，星期三任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解
2、解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例1.求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共30页，编辑于2022年，星期三二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共30页，编辑于2022年，星期三故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共30页，编辑于2022年，星期三若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、第7页，共30页，编辑于2022年，星期三例例2.计算双曲抛物面被柱面所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共30页，编辑于2022年，星期三例例3.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程.(见书 P167)方法方法1 利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共30页，编辑于2022年，星期三三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,
4、取极限”可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共30页，编辑于2022年，星期三将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共30页，编辑于2022年，星期三同理可得则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共30页，编辑于2022年，星期三若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页
5、 下页 返回 结束 第13页，共30页，编辑于2022年，星期三例例4.求位于两圆和的质心.解解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共30页，编辑于2022年，星期三例例5.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共30页，编辑于2022年，星期三机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共30页，编辑于2022年，星期三四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区
6、域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共30页，编辑于2022年，星期三类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共30页，编辑于2022年，星期三如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，共30页，编辑于2022年，星期三例例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其
7、直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共30页，编辑于2022年，星期三解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例7.7.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共30页，编辑于2022年，星期三 G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共30页，编辑于2022年，星期
8、三对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共30页，编辑于2022年，星期三例例8.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，共30页，编辑于2022年，星期三例例9.求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共30页，编辑于2022年，星期三为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共30页，编辑于2022年，星期三作业作业P175 1，
9、3，6,11习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共30页，编辑于2022年，星期三(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题第28页，共30页，编辑于2022年，星期三提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页，共30页，编辑于2022年，星期三由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，共30页，编辑于2022年，星期三