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1、上页 下页 返回 退出,定积分概念与性质,一、,定积分问题举例,二、,定积分定义,三、,定积分的性质,一、定积分问题举例,曲边梯形,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,b,上非负、连续,.,由直线,x,a,、,x,b,、,y,0,及曲线,y,f,(,x,),所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边,.,1.,曲边梯形的面积,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化,?,怎样求曲边梯形的面积？,求曲边梯形的面积,(1),分割,:,a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,x,n,b,D,x,i,=,x,i,-,x,i,1,
2、;,小曲边梯形的面积近似为,f,(,x,i,),D,x,i,(,x,i,1,x,i,x,i,);,(2),近似代替,:,(4),取极限,:,设,max,D,x,1,D,x,2,D,x,n,曲边梯形的面积为,(3),求和,:,曲边梯形的面积近似为,;,2.,变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度,v,v,(,t,),是时间,t,的连续函数,且,v,(,t,),0,计算物体在时间段,T,1,T,2,内所经过的路程,S,.,(1),分割,:,T,1,t,0,t,1,t,2,t,n,1,t,n,T,2,D,t,i,t,i,t,i,1,;,(2),近似代替,:,物体在时间段,t,i,1,t,i,内所
3、经过的路程近似为,D,S,i,v,(,i,),D,t,i,(,t,i,1,i,t,i,),;,物体在时间段,T,1,T,2,内所经过的路程近似为,(3),求和,:,(4),取极限,:,记,max,D,t,1,D,t,2,D,t,n,物体所经过的路程为,二、定积分定义,定积分的定义,max,D,x,1,D,x,2,D,x,n,;,记,D,x,i,=,x,i,-,x,i,1,(,i,1,2,n,),a,x,0,x,1,x,2,x,n,1,性质,3,注：,值得注意的是不论,a,b,c,的相对位置如何上式总成立,三、定积分的性质,性质,1,性质,2,性质,3,性质,4,推论,1,如果在区间,a,b,上
4、,f,(,x,),g,(,x,),则,这是因为,g,(,x,),f,(,x,),0,从而,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),0,则,性质,5,所以,这是因为,|,f,(,x,)|,f,(,x,),|,f,(,x,)|,所以,推论,1,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),g,(,x,),则,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),0,则,性质,5,推论,2,推论,1,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),g,(,x,),则,如果在区间,a,b,上,f,(,x,),0,则,性质,5,推论,2,性质,6,设,M,及,m,分别是函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的最大值及最小值,则,如果函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,则在积分区间,a,b,上至少存在一个点,x,使下式成立,这是因为,由性质,6,性质,7(,定积分中值定理,),积分中值公式,由介值定理,至少存在一点,x,a,b,使,两端乘以,b,a,即得积分中值公式,.,解,总结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值,定积分,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,小结,