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1、要点梳理要点梳理1.1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f f(x x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做偶函数）就叫做偶函数.一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f f(x x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做奇函数）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y y轴轴 对称对称.函数的奇偶性函数的奇偶性 基础知识基础知识 自主学习自主学习f f（-x x
2、）=f f（x x）f f（-x x）=-=-f f（x x）2.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行,一般一般 步骤是步骤是:（1 1）考查定义域是否关于）考查定义域是否关于_；（2 2）考查表达式）考查表达式f f（-x x）是否等于）是否等于f f（x x）或）或-f f（x x）：）：若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为奇函数；）为奇函数；若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为偶函数；）为偶函数；若若f f（-x x）=_=_且且f f（-x x）=_,=_,则则f f
3、(x x)既是既是 奇函数又是偶函数；奇函数又是偶函数；若若f f（-x x）-f f（x x）且）且f f（-x x）f f（x x），则），则f f（x x）既）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点对称原点对称-f f（x x）f f（x x）-f f（x x）f f（x x）3.3.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(_(填填 “相同相同”、“相反相反”）.(2)(2)在公共定
4、义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是_,_,两个奇函数的积是偶两个奇函数的积是偶 函数；函数；两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是_；一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是_._.奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数相同相同相反相反基础自测基础自测1.1.对任意实数对任意实数x x,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是 （）A.A.y y=2=2x x-3 -3 B.B.y y=-3=-3x x2 2 C.C.y y=lnln 5 5x x D.D.y y=-|=-|x x|cos|cos x x 解析解析 A A为非奇非偶函数为非奇非偶函数,B,
5、B、D D为偶函数为偶函数,C,C为奇函为奇函 数数.设设y y=f f(x x)=)=lnln 5 5x x=x xlnln 5,5,f f（-x x）=-=-x xlnln 5=5=-f f（x x）.C2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数 的图象关于的图象关于 （）A.A.y y轴对称轴对称 B.B.直线直线y y=-=-x x对称对称 C.C.坐标原点对称坐标原点对称 D.D.直线直线y y=x x对称对称 解析解析 f f（x x）是奇函数）是奇函数.f f（x x）的图象关于原点对称）的图象关于原点对称.C3.3.下列函数中既是奇函数下列函数中既是奇函数,又在区间又在
6、区间-1,1-1,1上单调递减上单调递减 的函数是（的函数是（）A.A.f f(x x)=sin)=sin x x B.B.f f(x x)=-|)=-|x x-1|-1|C.C.D.D.解析解析 函数是奇函数函数是奇函数,排除排除B B、C C（B B中函数是非奇中函数是非奇 非偶函数，非偶函数，C C中是偶函数），中是偶函数），-1-1，1 1 f f（x x）=sin=sin x x在在-1,1-1,1上是增函数上是增函数,排除排除A,A,故选故选D.D.D4.4.已知已知f f(x x）=axax2 2+bxbx是定义在是定义在 a a-1-1，2 2a a 上的偶函数上的偶函数,那么
7、那么a a+b b的值是的值是 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 依题意得依题意得B5.5.（20082008福建理）福建理）函数函数f f（x x）=x x3 3+sin+sin x x+1(+1(x xR R),),若若f f（a a）=2=2，则，则f f（-a a）的值为）的值为 （）A.3 B.0 C.-1 D.-2A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 设设g g(x x)=)=x x3 3+sin+sin x x,很明显很明显g g(x x)是一个奇函数是一个奇函数.f f（x x）=g g（x x）+1.+1.f f（a a）=g g（a a）+1=2+1=2
8、，g g（a a）=1=1，g g（-a a）=-1=-1，f f（-a a）=g g（-a a）+1=-1+1=0.+1=-1+1=0.B题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例例1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)(1)(2)(2)(3)(3)判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先检查定义域是应先检查定义域是 否关于原点对称否关于原点对称,然后再比较然后再比较f f(x x)与与f f(-(-x x)之间是否之间是否 相等或相反相等或相反.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪解解 (1)(1)定义域关于原点对称定义域关于原点对称.故原函数是奇函
9、数故原函数是奇函数.(2)0(2)0且且1-1-x x00-1-1x x1,1,定义域关于原点不对称定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数故原函数是非奇非偶函数.题型二题型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性【例例2 2】已知函数已知函数f f(x x),),当当x x,y yR R时，恒有时，恒有f f(x x+y y)=)=f f(x x)+)+f f(y y).).(1)(1)求证：求证：f f(x x)是奇函数；是奇函数；(2)(2)如果如果x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,并且并且f f(1)=(1)=试求试求 f f(x x)在区间在区间-2-2，6
10、6上的最值上的最值.(1)(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证只需证f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0;)=0;(2)(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用偶性的应用.思维启迪思维启迪(1)(1)证明证明 函数定义域为函数定义域为R R,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称.f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），令），令y y=-=-x x,f f(0)=(0)=f f(x x)+)+f f(-(-x x).).令令x x=y y=0,=0,f f(0
11、)=(0)=f f(0)+(0)+f f(0),(0),得得f f(0)=0.(0)=0.f f（x x）+f f（-x x）=0=0，得，得f f(-(-x x)=-)=-f f(x x),),f f(x x)为奇函数为奇函数.（2 2）解解 方法一方法一 设设x x,y y为正实数，为正实数，f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），），f f（x x+y y）-f f（x x）=f f（y y）.x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,f f(x x+y y)-)-f f(x x)0,)0,f f(x x+y y)x x,f f(x x)在（在（0 0，+）
12、上是减函数）上是减函数.又又f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0=0，f f（x x）在（）在（-,+-,+）上是减函数）上是减函数.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f(6)(6)为最小值为最小值.f f(1)=(1)=f f(-2)=-(-2)=-f f(2)=-2(2)=-2f f(1)=1,(1)=1,f f(6)=2(6)=2f f(3)=2(3)=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f(x x)在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3.-3.方法二方法二 设设x x1 1 0,0,
13、f f(x x2 2-x x1 1)0.)0.f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)0.)0.即即f f(x x)在在R R上单调递减上单调递减.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f（6 6）为最小值）为最小值.f f（1 1）=f f（-2-2）=-=-f f（2 2）=-2=-2f f（1 1）=1=1 f f（6 6）=2=2f f（3 3）=2=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f(x x)在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3.-3.探究提高探究提高 （1 1）满足）满足f f(a a+b
14、 b)=)=f f(a a)+)+f f(b b)的函数，只的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2 2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.知能迁移知能迁移2 2 函数函数f f(x x)的定义域为的定义域为D D=x x|x x0,0,且满且满 足对于任意足对于任意x x1 1,x x2 2D D,有有f f(x x1 1x x2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2).).（1 1）求）求
15、f f(1)(1)的值；的值；（2 2）判断）判断f f(x x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；（3 3）如果）如果f f(4)=1,(4)=1,f f(3(3x x+1)+1)+f f(2(2x x-6)3,-6)3,且且f f(x x)在在 (0(0，+)+)上是增函数，求上是增函数，求x x的取值范围的取值范围.解解 （1 1）对于任意对于任意x x1 1,x x2 2D D,有有f f(x x1 1x x2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2)，令令x x1 1=x x2 2=1,=1,得得f f(1)=2(1)=2f f(1),(1),f f
16、(1)=0.(1)=0.(2)(2)令令x x1 1=x x2 2=-1,=-1,有有f f(1)=(1)=f f(-1)+(-1)+f f(-1).(-1).f f(-1)=(-1)=f f(1)=0.(1)=0.令令x x1 1=-1,=-1,x x2 2=x x有有f f(-(-x x)=)=f f(-1)+(-1)+f f(x x),),f f(-(-x x)=)=f f(x x),),f f(x x)为偶函数为偶函数.（3 3）依题设有）依题设有f f(4(44)=4)=f f(4)+(4)+f f(4)=2,(4)=2,f f（16164 4）=f f（1616）+f f（4 4）
17、=3=3，f f(3(3x x+1)+1)+f f(2(2x x-6)3,-6)3,f f(3(3x x+1)(2+1)(2x x-6)-6)f f(64)(*)(64)(*)f f(x x)在（在（0 0，+）上是增函数，）上是增函数，(*)(*)等价于不等式组等价于不等式组x x的取值范围为的取值范围为1.1.正确理解奇函数和偶函数的定义正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两必须把握好两 个问题个问题:(1)(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数定义域在数轴上关于原点对称是函数f f(x x)为奇为奇 函数或偶函数的必要非充分条件函数或偶函数的必要非充分条件;(2)(2)f f(-(-
18、x x)=-)=-f f(x x)或或f f(-(-x x)=)=f f(x x)是定义域上的恒等式是定义域上的恒等式.2.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为为 了便于判断函数的奇偶性了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行有时需要先将函数进行 化简化简,或应用定义的等价形式或应用定义的等价形式:f f(-(-x x)=)=f f(x x)f f(-(-x x)f f(x x)=0)=0 =1(1(f f(x x)0).)0).方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称
19、,偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y 轴对称轴对称,反之也真反之也真.利用这一性质可简化一些函数利用这一性质可简化一些函数 图象的画法图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.1.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件偶性的一个必要条件.失误与防范失误与防范2.2.判断函数判断函数f f(x x)是奇函数是奇函数,必须对定义域内的每一个必须对定义域内的每一个x x,均有均有f f(-(-x x)=-)
20、=-f f(x x).).而不能说存在而不能说存在x x0 0使使f f(-(-x x0 0)=-)=-f f(x x0 0).).对对 于偶函数的判断以此类推于偶函数的判断以此类推.3.3.判断分段函数奇偶性时判断分段函数奇偶性时,要以整体的观点进行判断要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数 而否定函数在整个定义域上的奇偶性而否定函数在整个定义域上的奇偶性.一、选择题一、选择题1.1.f f(x x)为奇函数，且为奇函数，且f f(x x)的周期为的周期为3 3，f f（2 2）=1=1，则，则 f f（1010）等于
21、）等于 （）A.1 B.-1 C.0 D.2A.1 B.-1 C.0 D.2 解析解析 f f(10)=(10)=f f(3(33+1)=3+1)=f f(1)=-(1)=-f f(-1)=-(-1)=-f f(2)=-1.(2)=-1.定时检测定时检测B2.2.若函数若函数f f（x x）是定义在）是定义在R R上的偶函数，在（上的偶函数，在（-，0 0 上是减函数，且上是减函数，且f f(2)=0(2)=0，则使得，则使得f f(x x)0)0的取值范围的取值范围 是是 （）A.(-,2)A.(-,2)B.(2,+)B.(2,+)C.(-,-2)(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-
22、2,2)D.(-2,2)解析解析 f f（x x）是偶函数且在）是偶函数且在 (-,0(-,0上是减函数，且上是减函数，且f f（2 2）=f f（-2-2）=0=0，可画示意图如图所，可画示意图如图所 示，由图知示，由图知f f(x x)0)0的解集为（的解集为（-2-2，2 2）.D3.3.（20092009辽宁理，辽宁理，9 9）已知偶函数已知偶函数f f(x x)在区间在区间0,0,+）上单调递增，则满足）上单调递增，则满足 的的x x的取的取 值范围是值范围是 （）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析 方法一方法一 当当2 2x x-10,-10,即即x x 时，因为时，因为f
23、f(x x)在在0 0，+）上单调递增，故需满足）上单调递增，故需满足当当2 2x x-10,-10,即即x x 时，由于时，由于f f(x x)是偶函数，故是偶函数，故f f(x x)在在（-,0-,0上单调递减，上单调递减，此时需满足此时需满足方法二方法二 f f(x x)为偶函数为偶函数,f f(2(2x x-1)=-1)=f f(|2 2x x-1-1|)又又f f(x x)在区间（在区间（0 0，+）上为增函数）上为增函数不等式不等式 等价于等价于 答案答案 A4.4.(2009(2009陕西文，陕西文，10)10)定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f f(x x)，对，对 任意
24、任意x x1 1,x x2 20,+)(0,+)(x x1 1x x2 2)，有，有 则则 （）A.A.f f(3)(3)f f(-2)(-2)f f(1)(1)B.B.f f(1)(1)f f(-2)(-2)f f(3)(3)C.C.f f(-2)(-2)f f(1)(1)f f(3)(3)D.D.f f(3)(3)f f(1)(1)21,321,故有故有f f(3)(3)f f(-2)(-2)00时，时，f f(x x)=1-2)=1-2-x x,则不等式则不等式f f(x x)00时，时，1-21-2-x x=0=0与题意不符，与题意不符，当当x x000，f f（-x x）=1-2=1-2x x，又又f f（x x）为）为R R上的奇函数，上的奇函数，f f（-x x）=-=-f f（x x），），-f f（x x）=1-2=1-2x x，f f（x x）=2=2x x-1-1，f f（x x）=2=2x x-1 2-1 2x x x x-1,-1,不等式不等式f f(x x)00时，时，-x x0,00）.f f(x x)=)=即即f f(x x)=-)=-x xlg(2+|lg(2+|x x|)(|)(x xR R).).