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1、奇偶性第课时函数奇偶性的概念 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2022/9/252研修班2022/9/253研修班1若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)是什么？【提示】由奇函数定义，f(x)f(x)，则f(0)f(0)，f(0)0.2奇(偶)函数的定义域有什么特点？这种特点是怎样影响函数的奇偶性的？2022/9/254研修班【提示】(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)
2、与f(x)都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件(2)若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数2022/9/255研修班2022/9/256研修班2022/9/257研修班(3)函数f(x)的定义域为x|x3；定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性202
3、2/9/258研修班图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2022/9/259研修班2022/9/2510研修班2022/9/2511研修班(3)xR，f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，f(x)是奇函数2022/9/2512研修班【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：已知函数为分段
4、函数；判断此函数的奇偶性解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明【解析】(1)当x0f(x)(x)2(x)1，x2x1(x2x1)f(x)(2)当x0时，x0时，f(x)满足f(x)x2x1，x0时，x0f(x)x2f(x)当x0f(x)(x)2x2f(x)当x0时，f(x)0f(x)f(x)是偶函数2022/9/2515研修班已知函数f(x)不恒为0，当x、yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)求证：f(x)是奇函数【思路点拨】令xy0求f(0)令yxf(x)f(x)结论【证明】函数定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，则f(0)f(x)f(x)，再令xy0，则f
5、(0)f(0)f(0)，得f(0)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数2022/9/2516研修班抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所给条件，想法寻找f(x)与f(x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把f(0)求出来3.本例中，若将条件“f(xy)f(x)f(y)”改为f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数2022/9/2517研修班【证明】令x0，yx，则f(x)f(x)2f(0)f(x)又令xx，y0得f(x)f(x)2f(x)f(0)得f(x)f(x)f(x)是偶函数2022/9/2518研修班1准确理解函数奇偶性定准确理解函数奇偶性定义义(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)0，xD，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数2022/9/2519研修班2022/9/2520研修班