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1、例1 1.观察一天中进入某商店的顾客人数。=|一天中进入商店有 个顾客R=0,1,2,一、随机变量一、随机变量2.1 一维随机变量及分布列第1页/共42页例2.袋中有 3 只黑球，2 只白球，从中任意取出 3 只球，观察取出的 3 只球中的黑球的个数。我们将 3 只黑球分别记作 1，2，3 号，2 只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样本空间为第2页/共42页 我们记取出的黑球数为，则的可能取值为 1，2，3因此，是一个变量。但是，取什么值依赖于试验结果，即 的取值带有随机性，所以，我们称 为随机变量。的取值情况可由下表给出：第3页/共42页由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量
2、 的一个确定的取值，因此变量是样本空间 上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件。例如 表示至少取出2个黑球这一事件，等等。表示取出2个黑球这一事件；第4页/共42页随机变量的定义：设(,F,P)是一个概率空间，对于,()是一个取实值的单值函数,则称()为随机变量。R第5页/共42页说说 明：明：表示实数。第6页/共42页引入随机变量的目的：一般地，若 L 是一个实数集合，将 在 L 上的取值写成 L，用其表示事件 B=|()L，即 B 是由中使得()L 的所有样本点所组成的事件，此时有随机变量的取值具有一定的概率。具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个值，
3、但事先知道它全部可能的取值。随机变量的特点:用随机变量的取值表示随机事件。第7页/共42页例3.掷一颗骰子，令：出现的点数。则就是一个随机变量。它的取值为 1，2，3，4，5，6 表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；表示掷出的点数为偶数这一随机事件。第8页/共42页例4.一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品。现从中取出 6 件，令：X：取出 6 件产品中的次品数。则 X 就是一个随机变量。它的取值为 0，1，2，6表示取出的产品全是正品这一随机事件；表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件。第9页/共42页例5.上午 8:009:00 在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通
4、过的汽车数。则 Y 就是一个随机变量。它的取值为 0，1，表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件。注意：Y 的取值是可列无穷个！第10页/共42页例6.观察某生物的寿命（单位：小时），令：Z：该生物的寿命。则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数。表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件。表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件。注意：注意：Z 的取值是的取值是不可列无穷不可列无穷个个！第11页/共42页例7.掷一枚硬币，令：则 是一个随机变量。第12页/共42页例8.掷一枚骰子，在例3中，我们定义了随机变量
5、表示出现的点数。我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：说 明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量。第13页/共42页随机变量离散型连续型有限个或可列个可能值全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间。l随机变量的分类非离散型其他第14页/共42页二 离散型随机变量与分布列定义1：如果随机变量的取值是有限个或可列无穷个，则称为离散型随机变量。显然，要掌握一个离散型随机变量的统计规律性，必须且只需知道的所有可能取值以及每个可能值的概率。定义2.1 定义在样本空间 上，取值于实数域 R，且只取有限个或可列个值的变量称作一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量
6、。第15页/共42页定义2：设离散型随机变量的所有可能取值为并设则称上式或为离散型随机变量的分布列（或概率函数、或分布）。第16页/共42页说 明：离散型随机变量可完全由其分布列来刻划，即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定。离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质:第17页/共42页例1 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字，令：X：取出的 5 个数字中的最大值。试求 X 的分布列。解：X 的取值为 5，6，7，8，9，10并且具体写出，即可得 X 的分布列：第18页/共42页例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令：X：出现的正面次数与反面次数之
7、差。试求 X 的分布列。解：X 的取值为-3，-1，1，3 并且第19页/共42页例3 设离散型随机变量 X 的分布列为则第20页/共42页例4 设随机变量 X 的分布列为解：由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以第21页/共42页一些重要的离散型随机变量1)退化分布或单点分布：如果随机变量 X 的分布列为单点单点分布的概率背景分布的概率背景：随机变量随机变量 X 以概率 1 取值 c c。第22页/共42页2)两点分布：两点分布也称作 0-1分布或Bernoulli分布。如果随机变量 X 的分布列为第23页/共42页两点两点分布的概率背景分布的概率背景进行一次 Bernoulli试验
8、，设：令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A 发生的次数。或者说令第24页/共42页例5 15 件产品中有 4 件次品，11 件正品。从中取出 1 件，令 X：取出的一件产品中的次品数。则 X 的取值为 0 或者 1，并且第25页/共42页3）二二 项项 分分 布布：如果随机变量 X 的分布列为显然，当 n=1 时第26页/共42页二项二项分布的概率背景分布的概率背景 进行 n 重 Bernoulli试验，设在每次试验中令 X：在这次Bernoulli试验中事件 A 发生的次数。于是第27页/共42页例6 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生
9、靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，设则答5道题相当于做5重Bernoulli试验。第28页/共42页二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布：先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少这个使得第29页/共42页例7 对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.02，试求400次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行400 次射击相当于做400重Bernoulli试验。令：则由题意第30页/共42页4 4）Poisson 分布如果随机变量 X 的分布列为则称随机变量 X 服从参数为 的
10、Poisson 分布。并记作第31页/共42页分布列性质的验证 由于可知对任意的自然数 k，有 又由幂级数的展开式，可知所以满足分布列性质。第32页/共42页Poisson分布的应用分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布。例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的。第33页/共42页例8 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知解：随机
11、变量 X 的分布列为由已知 得 由此解得=2.从而第34页/共42页例9第35页/共42页解：设 B=此人在一年中得3次感冒,则由Bayes公式，得第36页/共42页PoissonPoisson定理证明：第37页/共42页对于固定的 k，有所以，第38页/共42页PoissonPoisson定理的推论PoissonPoisson定理及其推论的说明：常常被应用于n n重贝努利试验（n n很大）中稀有事件（p很小）概率的研究。第39页/共42页例10 设每次射击命中目标的概率为0.01，现射击200次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）。解：设 B=200次射击至少命中3次目标，进行200次射击可看作是一200重Bernoulli试验。令所以，第40页/共42页第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页