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1、 1概率论与数理统计教程 魏宗舒 编 高等教育出版社2 在我们所生活的世界上，充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性.3 如同物理学中基本粒子的运动、生如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自处于紧张社
2、会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的然界中的不定性是固有的.这些与其说这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础必要基础.C.R.劳劳4 从亚里士多德时代开始，哲学家们从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西越了人们理解能力范围的东西.他们没他们没有认识到有
3、可能去研究随机性，或者是有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性去测量不定性.5 将将不定性数量化不定性数量化，来尝试回答这些问，来尝试回答这些问题，是直到题，是直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的.还不还不能说这个努力已经十分成功了，但就是能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命一切领域带来了一场革命.这场革命为研究新的设想，发展自这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路路.而且也改变了我们的思维方法，使而且也改变了我们的思维方法，使我
4、们能大胆探索自然的奥秘我们能大胆探索自然的奥秘.6 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是7第一章第一章 事件与概率事件与概率第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量 第三章第三章 连续型连续型 随机变量随机变量第四章第四章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理第五章第五章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 第六章第六章 点估计点估计第七章第七章 假设检验假设检验第八章第八章 方差分析和回归分析方差分析和回归分析 目 录8 第第 一一 章章 事事 件件 与与 概概 率率9一、一、随机现象随机现象 二、二、随
5、机试验随机试验1.1 1.1 随机事件和样本空间随机事件和样本空间 五、随机事件的关系五、随机事件的关系三、样本空间三、样本空间 样本点样本点四、随机事件的概念四、随机事件的概念10在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、随机现象 11在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象
6、称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2.随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数”等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果12结果有可能为结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”.实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”.实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察
7、弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.13实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命”可长可可长可短短.14随机现象的分类随机现象的分类个别随机现象现象个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重：原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例6）大量性随机现象大量性随机现象：在相同条件下可以重复出在
8、相同条件下可以重复出 现（例现（例1-5）随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果152.随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性,但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中,这种结果的出这种结果的出现具有一定的现具有一定的统计规律性统计规律性,概率论就是研究随机概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1.随机现象揭示了条件和结果之
9、间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.16 1.可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能并且能事事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.二、随机试验17说明说明 1.随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术
10、语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查调查”、“观察观察”、或、或“测量测量”等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2.随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;181.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为
11、随机试验(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.193.记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4.考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5.从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命.20三、样本空间 样本点定义定义1.11.1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称
12、为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 表示。表示。我们规定不含任何元素的空集为不可能事件我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用用 表示表示。21随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集的子集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一
13、枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.四、随机事件的概念22 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点,样本空间样本空间,基本事件基本事件,事件事件AA出现偶数出现偶数,事件事件BB出现奇数出现奇数 解：解：用用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 基本事件基本事件 例例1.11.123 1.包含关系包含关系若若事件事件 A 出现出现,必然导致必然导致 B 出现出现,则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作实例实例 “长度不合格长度不合格”必然导致必然导致“产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格”包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含
14、A.BA五、随机事件间的关系及运算I.随机事件间的关系随机事件间的关系24若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A,则称事则称事件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2.事件的和事件的和(并并)实例实例 若若某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,则则“产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并.BA253.事件的交事件的交(积积)推广推广26图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.ABAB实例实
15、例 若某种产品的合格与否是由该产品的长度若某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长长度合格度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.27和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质284.事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A、B 满足满足则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容.实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,“出现花面出现花面”与与“出现字面出现字面”是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.29“骰子出现骰子出现1点点”“骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互
16、斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.说明说明：任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.305.事件的事件的差差图示图示 A 与与 B 的差的差 AB B实例实例“长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的差的差.A事件事件“A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差.记作记作 A-B.31 若事件若事件 A、B 满足满足则称则称 A 与与B 为为互逆互逆(或对立或对立)事件事件.A 的逆记作的逆记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现
17、骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立.BA6.事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立32对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立33II.事件间的运算规律事件间的运算规律34例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.(1)A 出现出现,B,C 不出现不出现;(5)三个事件都不出现三个事件都不出现;(2)A,B都出现都出现,C 不出现不出现;(3)三个事件都出现三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;(
18、6)三个事件至少发生两个三个事件至少发生两个;(7)三个事件恰好发生两个三个事件恰好发生两个;(8)三个事件不多于一个事件发生。三个事件不多于一个事件发生。35解解36逆分配律37概率论与集合论之间的对应关系 记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的补集的补集A是是B的子集的子集A集合与集合与B集合相等集合相等38事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事
19、件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集39 六、小结随机现象的特征随机现象的特征:1条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能并且能事事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现.随随机机试试验验 3.随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系40随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件和不可能事件是两个特殊的必然事件和不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件41