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1、电动力学课件 2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播1本讲稿第一页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播24.1 电磁场波动方程和时谐电磁场一一电磁场的波动方程电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质分区均匀线性各向同性介质)1.1.基本方程基本方程(4.1.2)(4.1.3)2.2.边值关系边值关系(4.1.4)绝缘介质、普通导体界面：绝缘介质、普通导体界面：i0=0 绝缘介质界面：绝缘介质界面：00 (4.1.5)(4.1.1)齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场
2、源本讲稿第二页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播34.1 电磁场波动方程和时谐电磁场3.3.电场波动方程电场波动方程 将电磁性能方程将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程代入麦克斯韦方程(4.1.1)得得(4.1.6)运用矢量分析手段，从方程中消去运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含，化作仅含E 的方程：的方程：(4.1.7)类似步骤可导出类似步骤可导出(4.1.12)本讲稿第三页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播44.1 电磁场波动方程和时谐电磁场4.4.电场波动方程的定解问题电场波动方程的定解问题l 原定解问题原定
3、解问题(4.1.6)初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：l 新定解问题新定解问题(a)基本方程基本方程(4.1.7)(将证式将证式(4.1.6)第二式自动成立第二式自动成立)(b)定解条件：定解条件：电场：电场：磁场：磁场：（为何不需要标定边条件？）（为何不需要标定边条件？）l 新老定解问题之间的等效性新老定解问题之间的等效性证毕证毕本讲稿第四页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播54.1 电磁场波动方程和时谐电磁场二二 时谐电磁场时谐电磁场1.1.定义：定义：在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场
4、,称为时谐电磁称为时谐电磁场场,或称为定态电磁场或称为定态电磁场.2.2.时谐电磁场的复数表述时谐电磁场的复数表述 (4.1.13)(4.1.15)3.3.定态波动方程定态波动方程 (4.1.16)(4.1.17)l 由式由式(4.1.17)，B=0 自动满足自动满足l 幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需 给定边界条件和无限远处的渐近条件给定边界条件和无限远处的渐近条件l 解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其 他外部约束条件解决；他外
5、部约束条件解决；例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性本讲稿第五页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播64.1 电磁场波动方程和时谐电磁场4.4.时谐电磁场的边值关系时谐电磁场的边值关系l 原边值关系原边值关系(4.1.4)绝缘介质、普通导体界面：绝缘介质、普通导体界面：i0=0 绝缘介质界面：绝缘介质界面：00 (4.1.5)l 齐次边值关系齐次边值关系可由可由导出导出SC电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续;对时谐场，后者不独立！对时谐场，后者不独立！一般结论一般结论
6、:切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：本讲稿第六页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播74.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l 绝缘介质、普通导体界面绝缘介质、普通导体界面(i0=0)：(a)绝缘介质界面：绝缘介质界面：00 齐次边值关系齐次边值关系可由可由导出导出证证SC磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！(b)普通导体普通导体界面：界面：0 0，关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而是事关于
7、电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度后用来计算导体界面的自由面电荷密度结论：用于求解时谐场的独立齐次边值关系如下：本讲稿第七页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播84.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l 理想导体或超导体边界理想导体或超导体边界(体内体内 E=B =0)作为电磁场的边界作为电磁场的边界 与边值关系自洽的边界条件与边值关系自洽的边界条件1（良导体或超导体）（良导体或超导体）2S 事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度n说明：说明：Bn=0
8、 可由可由E=0 导出，即自动满足。导出，即自动满足。本讲稿第八页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播94.1 电磁场波动方程和时谐电磁场5.5.复数表示下的乘法运算复数表示下的乘法运算l 乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算 l 乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算 类比交流电的平均功率表达式：类比交流电的平均功率表达式：平均功率平均功率复电压复电压(共轭）共轭）复电流复电流可写下电磁能密度、能流密度和功率密度可写下电磁能密度、能流密度和功率密度(
9、4.1.21)(4.1.22)(4.1.23)的周期平均值：的周期平均值：本讲稿第九页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播104.1 电磁场波动方程和时谐电磁场三三 无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波用直角坐标下的分离变量法求解，对用直角坐标下的分离变量法求解，对E 的某个分量的某个分量u:取实部：取实部：l 求解过程求解过程（波矢）（波矢）本讲稿第十页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播114.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l 物理分析物理分析1.1.平面波平面波(波阵面为平面），沿
10、波矢波阵面为平面），沿波矢k 方方向传播，相速度为向传播，相速度为2.2.横波，横波，E、B、k 满足右手正交关系满足右手正交关系(见右图见右图)EBk3.3.E 和和B 同相变化同相变化，且且4.4.平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：（n 为折射率）为折射率）(4.1.28)(4.1.28)(4.1.29)(4.1.30)本讲稿第十一页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播124.1 电磁场波动方程和时谐电磁场5.5.平均动量流密度：平均动量流密度：动量流密度表达式（瞬时值）：动量流密度表达式（瞬时值）：相对基矢相对基矢(
11、eE,eB,ek)及其并矢展开及其并矢展开（技巧：选择合适坐标系）（技巧：选择合适坐标系）(4.1.33)(4.1.34)瞬时动量流密度：瞬时动量流密度：平均动量流密度：平均动量流密度：本讲稿第十二页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播134.1 电磁场波动方程和时谐电磁场四四电磁波的偏振电磁波的偏振1.1.定义：横电磁波中电场的振动状态定义：横电磁波中电场的振动状态l针对横电磁波，针对横电磁波，E 和和B 均与传播方向垂直均与传播方向垂直l只需分析电场的振动状态：只需分析电场的振动状态：Re(B)=kRe(E)/2.数学描述：不妨设电磁波沿数学描述：不妨设电磁波
12、沿 z 轴传播，轴传播，k=k ez 偏振度：偏振度：偏振度的模：偏振度的模：偏振度的辐角：偏振度的辐角l 通过在通过在Re(Ex)Re(Ey)平面作图，描出电场矢尖运动轨迹平面作图，描出电场矢尖运动轨迹l 从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）l 按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）(E0 x,E0y为正实数为正实数)3.分析步骤：分析步骤：本讲稿第十三页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播144.1 电磁场波动方程和时谐电磁场4.典型结果典型结
13、果l线偏振：电矢量矢尖轨迹为直线线偏振：电矢量矢尖轨迹为直线 判据：偏振度判据：偏振度 R 为实数（偏振度的辐角为实数（偏振度的辐角0）l圆偏振：圆偏振：电矢量矢尖轨迹为圆周电矢量矢尖轨迹为圆周 判据：偏振度为虚数单位，判据：偏振度为虚数单位，R=i图41ReExReEyReE0ReEyReE0ReExOO左旋左旋(R=i)右旋右旋(R=i)右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电矢量旋转方向与四指方向一右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电矢量旋转方向与四指方向一致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）本讲稿第十四页，共四十五页2023/4/
14、8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播154.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l椭圆偏振：椭圆偏振：电矢量矢尖轨迹为椭圆电矢量矢尖轨迹为椭圆 判据：偏振度为复数；将辐角约化至判据：偏振度为复数；将辐角约化至（0，2）范围，范围，左旋椭圆偏振（左旋椭圆偏振（R=i为左圆偏振）为左圆偏振）右旋椭圆偏振（右旋椭圆偏振（R=i为右圆偏振）为右圆偏振）l任意（椭圆）偏振波的分解（参见任意（椭圆）偏振波的分解（参见4.14.1节末尾的定性陈述）节末尾的定性陈述）分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波线偏振基矢线偏振基矢：左旋圆偏振基矢：左旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基
15、矢复基矢正交归一关系：复基矢正交归一关系：圆偏振与线偏振分量的关系：圆偏振与线偏振分量的关系：分解为分解为 x 向线偏振波和向线偏振波和 y 向线偏振向线偏振l 自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光本讲稿第十五页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播164.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射一一定解问题的提法定解问题的提法1.1.必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地确定反射必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地确定反射波和折射波，从而给出
16、反射折射规律的确定描述波和折射波，从而给出反射折射规律的确定描述图42xzO2,21,1n12给定入射波给定入射波:（4.2.1)确定反射波和折射波确定反射波和折射波:(4.2.6)满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系:(4.2.5)2.2.定解问题描述：电磁波从定解问题描述：电磁波从1 1侧入射至界面侧入射至界面 z0(4.2.8)(4.2.9)(4.2.7)本讲稿第十六页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播174.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射二二 定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束
17、定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束(4.2.11)(4.2.10)三三 边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束(4.2.12)由时间由时间 t 的任意性推得的任意性推得 (4.2.13)由由(4.2.10)得得不能由上式断定不能由上式断定以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：(4.2.16)本讲稿第十七页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播184.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 (4.2.16)上式表明：反射波和折射波的波矢位于上式表明：反射波和折射波的波矢位于n-k平面
18、（称为入射面）内。平面（称为入射面）内。取入射面为取入射面为 x-z 平面，则平面，则由由(4.2.16)得得(4.2.18)(4.2.17)反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。四四 反射定律和折射定律反射定律和折射定律xzkk 12k 图43由由(4.2.18)得得(4.2.19)(4.2.20)本讲稿第十八页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播194.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射五五边值关系对反射波和折射波的幅度约束边值关系对反射波和折射波的幅度约束l独立齐次边值关系
19、独立齐次边值关系l 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性 E 与与k 垂直，垂直，E与与k垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共计垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共计4个，解唯一存在。个，解唯一存在。l 尝试分两种情况进行求解：尝试分两种情况进行求解：1.E垂直于入射面，垂直于入射面，2.E平行于入射面；平行于入射面；依据：叠加原理依据：叠加原理 目的：将目的：将4元代数方程化为两组元代数方程化为两组2元代数方程求解，简化计算过程元代数方程求解，简化计算过程本讲稿第十九页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播204.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射1.1.
20、E垂直于入射面垂直于入射面zH E H xk kEHE k 图44猜测：猜测：E 和和E也垂直于入射面；也垂直于入射面；规定：规定：指向纸面为电场正向，按电场、磁指向纸面为电场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度正向，场、波矢右手正交关系标出磁场强度正向，示于图示于图44以下一律取以下一律取(4.2.21)本讲稿第二十页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播214.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射2.2.E平行平行于入射面（于入射面（H 垂直于入射面垂直于入射面）猜测：猜测：H 和和H也垂直于入射面；也垂直于入射面；规定：规定：指向纸面为磁场正向，
21、按电场、磁场、指向纸面为磁场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出电场强度正向，示于波矢右手正交关系标出电场强度正向，示于图图45(4.2.22)zH E H xk kEHE k 图45式（式（4.2.214.2.21）和（）和（4.2.224.2.22）：菲涅耳公式）：菲涅耳公式本讲稿第二十一页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播224.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射六六 物理分析物理分析1.1.偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射和偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射和折射后变为部分偏振光。特别当折射后变为
22、部分偏振光。特别当 90 时，时，E 平行于入射面的波不平行于入射面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。（布儒斯特定律；发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。（布儒斯特定律；布儒斯特角）布儒斯特角）l半波损失：当半波损失：当2 1 时，有时，有 ，对对E垂直入射面的情况，有垂直入射面的情况，有E/E 0，反射波与入射波反相，称为半波损失。，反射波与入射波反相，称为半波损失。l全反射：当全反射：当2 1 时，有时，有 c sin 1，为虚数！为虚数！这表示，这表示，k“为复数矢量；而为复数矢量；而在复数法中，波矢允许为复数量，其实部为物理波矢在复数法中，波矢允许为
23、复数量，其实部为物理波矢(正余弦函数正余弦函数)，虚部反映平面波随空间的衰减，虚部反映平面波随空间的衰减(指数函数指数函数)。折射波电场：折射波电场：l 折射波沿界面传播，沿折射波沿界面传播，沿 z 向指数衰减，此时有向指数衰减，此时有l 传播速度为传播速度为 ，由介质，由介质1波速和入射角波速和入射角决定；决定；反射系数为反射系数为1 1，即发生全反射，即发生全反射本讲稿第二十三页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播244.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射l 折射波不是横波折射波不是横波【备注】【备注】当波矢为复数量时，无散条件当波矢为复数量时，无散条件(
24、k E=0)横波条件！横波条件！横波条件：横波条件：将可能出现电场或磁场沿将可能出现电场或磁场沿 x 方向的分量，从而破坏横波条件方向的分量，从而破坏横波条件(1)入射波电场垂直入射面入射波电场垂直入射面()，电场与，电场与 x 方向垂直，方向垂直，但但(2)入射波磁场垂直入射面，磁场与入射波磁场垂直入射面，磁场与 x 方向垂直，但方向垂直，但本讲稿第二十四页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播254.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射七七 能量守恒和动量守恒关系（能量守恒和动量守恒关系（物理分析之继续物理分析之继续）1.1.能量守恒关系能量守恒关系SS S
25、图46An介质1介质2入射波能流：入射波能流：n SA反射波能流：反射波能流：n S A折射波能流：折射波能流：n S Al 直觉分析直觉分析l 严格证明严格证明 从从1.4节给出的能流密度的边值关系出发：节给出的能流密度的边值关系出发：(4.2.30)l 反射系数和反射系数和 透射系数透射系数本讲稿第二十五页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播264.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射2.动量守恒关系动量守恒关系l 直觉分析直觉分析l 严格证明严格证明 从从1.4节给出的光压公式出发：节给出的光压公式出发：入射波动量流密度入射波动量流密度反射波动量流密度反射
26、波动量流密度折射波动量流密度折射波动量流密度光压公式：光压公式：(4.2.34)介质介质2为透明介质：为透明介质：介质介质2为全吸收介质：为全吸收介质：平均值：平均值：(4.2.33)即式即式(4.2.33)成立成立本讲稿第二十六页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播274.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射例例4.1 4.1 无限介质平面两侧的介质的磁导率同为无限介质平面两侧的介质的磁导率同为0，介电常量分别为介电常量分别为1和和2,电场强电场强度为度为E 的平面电磁波自的平面电磁波自1 1侧垂直入射侧垂直入射,在界面上发生反射和折射在界面上发生反射和折射.
27、在介质在介质2 2全透明和全全透明和全吸收两种情况下吸收两种情况下,分别计算介质界面所受的压力分别计算介质界面所受的压力.解解介质介质2透明：透明：介质介质2全吸收：全吸收：解毕解毕备注：备注：（参见第一章（参见第一章1.4节（节（1.4.60）式）式）本讲稿第二十七页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播284.3 导体中的电磁波一一基本方程和边值关系基本方程和边值关系l 基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数l 处理方法和步骤与绝缘介质情况类似处理方法和步骤与绝缘介质情况类似2.独立齐次边
28、值关系独立齐次边值关系:1.基本方程：基本方程：3.说明说明:本讲稿第二十八页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播294.3 导体中的电磁波用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得二二 无限均匀导体中的平面电磁波无限均匀导体中的平面电磁波(4.3.9)(4.3.10)(4.3.11)横波条件：横波条件：无散条件：无散条件：仅仅当当 /时时才能满足才能满足(反证法反证法)本讲稿第二十九页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播304.3 导体中的电磁波三三电磁波在导体表面的反射与折射电磁波在导
29、体表面的反射与折射 由绝缘介质结果，做如下替换：由绝缘介质结果，做如下替换：xzk 12k 图472,01,0l 反射定律：反射定律：l 折射波衰减方向：折射波衰减方向：l 折射定律：折射定律：沿沿z 向衰减向衰减本讲稿第三十页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播314.3 导体中的电磁波良导体近似：良导体近似：折射波传播速度：折射波传播速度：结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的光速；结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的光速；二者均与导体的介电常量无关（类比恒定电场中的导体）！二者均与导体的介电常量无关（类比
30、恒定电场中的导体）！本讲稿第三十一页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播324.3 导体中的电磁波l 垂直入射情况下的幅度关系垂直入射情况下的幅度关系H E H k kEHE k 图481,02,0入射波：入射波：反射波：反射波：折射波：折射波：边值关系：边值关系：结果：结果：不妨假定电场正向垂直纸面向内不妨假定电场正向垂直纸面向内 正确列出独立齐次边值关系正确列出独立齐次边值关系介质介质2 2换成理想导体或超导体怎么处理？换成理想导体或超导体怎么处理？无折射波；无折射波；边值关系：边值关系：E+E=0;HH=2H=i0;(i0 与与E 正向一致正向一致)i0本讲
31、稿第三十二页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播334.3 导体中的电磁波1.上述结果与上述结果与2无关无关,同样说明对良导体来说同样说明对良导体来说,其介电常量不起作用其介电常量不起作用.2.2.反射系数：反射系数：l 良导体近似及对结果的物理分析：良导体近似及对结果的物理分析：3.3.半波损失：半波损失：E/E1 14.4.折射波的特性：折射波的特性：(4.3.29)折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减(对比绝缘介质全反射情况对比绝缘介质全反射情况)本讲稿第三十三页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传
32、播344.3 导体中的电磁波5.5.表面电阻和功率耗散表面电阻和功率耗散l引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述l 满足边界条件：满足边界条件：半无限良导体半无限良导体(z 0)中的定态电磁波解中的定态电磁波解（k=+i）a)上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证b)在理想导体极限下，下边界在理想导体极限下，下边界H 切向分量有限，切向分量有限，E 切向分量趋于零切向分量趋于零l 表面电流：表面电流：本讲稿第三十四页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电
33、磁波的传播电磁波的传播354.3 导体中的电磁波图49abi0l 平均功率：平均功率：l 表面电阻：表面电阻：积分电导：积分电导：；表面电阻：；表面电阻：1/();功率面密度功率面密度:表面电阻表面电阻面电流密度有效值平方面电流密度有效值平方本讲稿第三十五页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播364.3 导体中的电磁波应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率1.1.计算电磁波在导体中的穿透深度：计算电磁波在导体中的穿透深度：2.计算导体壁的焦耳功率计算导体壁的焦耳功率采用良导体近似计算功率面密
34、度：采用良导体近似计算功率面密度：在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管）在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管）条件：衰减距离（也正比于条件：衰减距离（也正比于1/2）波长波长积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题4.13)良导体：良导体：普通导体：普通导体：本讲稿第三十六页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播374.4 谐振腔和波导管l 将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播l 求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变
35、量法l 不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质一一 基本方程和边界条件基本方程和边界条件 电磁场以理想导体为边界，设为电磁场以理想导体为边界，设为S；内部填满均匀线性各向同性介质；内部填满均匀线性各向同性介质电场定解问题：电场定解问题：磁场及界面场源：磁场及界面场源：(规定规定n 指向解域内部指向解域内部)自动满足自动满足事先将无散条件对边值的约束条件写出：事先将无散条件对边值的约束条件写出：图410En(0)nEn(n)nA(4.4.7)仅适于平面边界；对球面边界，见习题仅适于平面边界；对球面边界，见习题2.1本讲稿第三十七页
36、，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播384.4 谐振腔和波导管二二 谐振腔谐振腔1.1.求解过程（分离变量法）求解过程（分离变量法）图411zxyL2L3L1O解域：解域：解域边界解域边界S：针对电场针对电场E 的某个分量的某个分量u 求分离变量解求分离变量解：(4.4.10)(4.4.11)(4.4.12)由边界条件定参由边界条件定参数，以数，以Ex为例：为例：本讲稿第三十八页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播394.4 谐振腔和波导管m,n,l 为正整数为正整数(4.4.14)(4.4.13)对对Ey 的和的和Ez 作类似处理，
37、最终求得：作类似处理，最终求得：(4.4.15)由无散条件由无散条件E0，导出导出3个幅度因子满足如下约束条件个幅度因子满足如下约束条件：(4.4.16)本讲稿第三十九页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播404.4 谐振腔和波导管将电场解乘上因子将电场解乘上因子，取其实部，取其实部,求得实际电场为求得实际电场为(4.4.17)2.2.物理分析物理分析l不传播，为驻波解不传播，为驻波解l波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（m,n,l）表征）表征,对应解对应解为本征解。在（为本征解。在（m,n,l）中，至少有两个不
38、为零，否则为零解。）中，至少有两个不为零，否则为零解。l（m,n,l）本征解的角频率为）本征解的角频率为l由整数集合（由整数集合（m,n,l）表征的本征解）表征的本征解,存在两个独立波模存在两个独立波模l最低频率和最大波长（对最低频率和最大波长（对L1,L2 L3)：(4.4.16)(4.4.14)(4.4.13)本讲稿第四十页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播414.4 谐振腔和波导管三三 波导管波导管1.1.求解过程（分离变量法）求解过程（分离变量法）解域：解域：解域边界解域边界S：分离变量解分离变量解：(4.4.21)(4.4.11)图412zyxOba与
39、谐振腔解的区别：与谐振腔解的区别：如何看待这一区别？如何看待这一区别？l 两种取法在数学上完全等效，可随意选取；两种取法在数学上完全等效，可随意选取；l 对谐振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属对谐振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属 于一种数学技巧；于一种数学技巧；l 谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同，谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同，而是来自而是来自z 向边界的边界条件；若限于右行波，可取向边界的边界条件；若限于右行波，可取 c2=0。本讲稿第四十一页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电
40、磁波的传播424.4 谐振腔和波导管,.由边界条件定参数：由边界条件定参数：(4.4.22)(4.4.23)选择沿正选择沿正 z 向的行波解：向的行波解：(4.4.24)(4.4.25)本讲稿第四十二页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播434.4 谐振腔和波导管(4.4.26)(4.4.22)2.2.物理分析物理分析l行波解：行波解：l波矢分量波矢分量k1 和和k2 取离散值（也称本征值），由整数集合（取离散值（也称本征值），由整数集合（m,n）表征）表征,对应解对应解为本征解。在（为本征解。在（m,n）中，至少有一个不为零，否则为零解。）中，至少有一个不为零，
41、否则为零解。l波矢分量波矢分量k3 和角频率和角频率 取连续值，二者满足关系：取连续值，二者满足关系：l临界频率、下截止频率和最大波长：临界频率、下截止频率和最大波长：(4.4.27)(4.4.29)(4.4.30)相速度超过光速：相速度超过光速：群速度低于光速：群速度低于光速：本讲稿第四十三页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播444.4 谐振腔和波导管l横电波和横磁波横电波和横磁波不是横波，如何理解？不是横波，如何理解？（a)a)波导管中的行波可分解为若干平面波（横波）的叠加，但若干个平面波的合成波一波导管中的行波可分解为若干平面波（横波）的叠加，但若干个平面
42、波的合成波一般不是横波；般不是横波；（b)b)这说明：局限在有限空间的电磁波一般不是横波这说明：局限在有限空间的电磁波一般不是横波横电波（横电波（TEmn,存在存在TE10和和TE01波模波模）：）：A3=0 Ez=0横磁波（横磁波（TMmn,不存在不存在TM10和和TM01波模波模）：）：TM10：本讲稿第四十四页，共四十五页2023/4/8第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播45第四章 电磁波的传播第四章小结l电磁波传播问题解法从电场出发，求解电场波动方程的初边值问题从电场出发，求解电场波动方程的初边值问题新老定解问题的等效性新老定解问题的等效性时谐电磁场，独立齐次边值关系时谐电磁场，独
43、立齐次边值关系分离变量法分离变量法l问题类型1.无限空间的平面波解（均匀线性各向同性介质，均匀导体）无限空间的平面波解（均匀线性各向同性介质，均匀导体）2.反射折射问题（解的唯一性）反射折射问题（解的唯一性）3.有限空间的电场波动方程的边值问题，谐振腔和波导管有限空间的电场波动方程的边值问题，谐振腔和波导管l表面电阻和功率耗散先按理想导体近似处理有限空间的电磁波；先按理想导体近似处理有限空间的电磁波；后由表面电阻公式计算功率耗散后由表面电阻公式计算功率耗散电磁波幅度将随传播距离衰减；所获得的衰减解不是严格解，而是近似电磁波幅度将随传播距离衰减；所获得的衰减解不是严格解，而是近似解解（略去（略去 /的二级小量下的近似解）的二级小量下的近似解）本讲稿第四十五页，共四十五页