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1、电动力学静磁场本讲稿第一页，共五十页本章重点：本章重点：1 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量场的能量场的能量场的能量2 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较与静电势方程的比较与静电势方程的比较与静电势方程的比较本章难点：利用磁标势解决具体问题本章难点：利用磁标势解决具体问题本讲稿第二页，共五十页1 1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程一、稳恒电流磁
2、场的矢势一、稳恒电流磁场的矢势1 1稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。基本方程基本方程边值关系边值关系这时静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。这时静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。这时静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。这时静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。实实实实际际际际上上上上当当当当建建建建立立立立一一一一个个个个与与与与电电电电荷荷荷荷一一一一起起起起运运运运动动动动的的的的参参参参照照照照系系系系时时时时
3、，在在在在这这这这个参照系中观测，只有静电场。个参照系中观测，只有静电场。个参照系中观测，只有静电场。个参照系中观测，只有静电场。本节仅讨论本节仅讨论本节仅讨论本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。情况，即非铁磁的均匀介质。情况，即非铁磁的均匀介质。情况，即非铁磁的均匀介质。本讲稿第三页，共五十页2 2矢势的引入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义静电场静电场物理意义：物理意义：物理意义：物理意义：（a）与与的关系的关系稳恒电流磁场稳恒电流磁场其中其中其中其中S S S S 为回路为回路为回路为回路L L L L 为边界的任一曲面为边界的任一曲面 本讲稿第四页，共五十页 沿沿
4、沿沿任任任任一一一一闭闭闭闭合合合合回回回回路路路路的的的的环环环环量量量量代代代代表表表表通通通通过过过过由由由由该该该该回回回回路路路路为为为为边边边边界界界界的的的的任任任任一一一一曲曲曲曲面的磁通量，而每点面的磁通量，而每点面的磁通量，而每点面的磁通量，而每点A A无直接物理意义。无直接物理意义。无直接物理意义。无直接物理意义。（b b b b）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面L L L L的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关（c c c c）物理意义）物理意义）物
5、理意义）物理意义、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性令令可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性 满足的方程？满足的方程？规范条件本讲稿第五页，共五十页二矢势满足的方程及方程的解二矢势满足的方程及方程的解1满足的方程满足的方程（1 1 1 1）稳稳稳稳恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足(矢量矢量)泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程（2 2）与静电场形式相同与静电场形式相同与静电场形式相同与静电场形式相同（3 3 3 3）矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场本讲稿第六页，共五十页2矢势的形式解矢势的形式解已知
6、电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。3的解的解这正是毕奥这正是毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律与静电场类比与静电场类比（线电流）本讲稿第七页，共五十页4的边值关系的边值关系(a)(a)12lh本讲稿第八页，共五十页(b)(b)
7、*特殊情况：特殊情况：分界面为柱面，柱坐标系中，分界面为柱面，柱坐标系中，分界面为柱面，柱坐标系中，分界面为柱面，柱坐标系中，若若若若 分界面为球面，分界面为球面，若若若若zxyxzy本讲稿第九页，共五十页5 5*矢量泊松方程解的唯一性定理矢量泊松方程解的唯一性定理定理：给定定理：给定V V内传导电流内传导电流 和和V V边界边界S S上的上的 或或V V 内稳恒电流磁场由内稳恒电流磁场由 和边界和边界 条件唯条件唯一确定。一确定。本讲稿第十页，共五十页三稳恒电流磁场的能量均匀介质中总能量为均匀介质中总能量为均匀介质中总能量为均匀介质中总能量为 1 1在稳恒场中有在稳恒场中有在稳恒场中有在稳恒
8、场中有 不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。本讲稿第十一页，共五十页2.电流分布在外磁场中的相互作用能电流分布在外磁场中的相互作用能相互作用能相互作用能Wi设设为为外外磁磁场场电电流流分分布布，为为外外磁磁场场的的矢矢势势；为为处处于于外外磁磁场场中中的的电电流流分分布布，它它激激发的场的矢势为发的场的矢势为。总能量：。总能量：本讲稿第十二页，共五十页相互作用能相互作用能相互作用能相互作用能 由由由由可得可得可得可得相互作用能量相互
9、作用能量相互作用能量相互作用能量本讲稿第十三页，共五十页由对称性分析，空间中由对称性分析，空间中由对称性分析，空间中由对称性分析，空间中P P 点，矢势只有点，矢势只有点，矢势只有点，矢势只有f f f f 分量分量分量分量（选择球坐标）。（选择球坐标）。（选择球坐标）。（选择球坐标）。xz xz 面上的面上的面上的面上的P P 点，矢势沿点，矢势沿点，矢势沿点，矢势沿y y 方向。方向。方向。方向。P P 点和点和点和点和Q Q点的直角坐标分别为点的直角坐标分别为点的直角坐标分别为点的直角坐标分别为且且且且例例 半径为半径为a a的载流导线圆环的矢势。（的载流导线圆环的矢势。（P80P80例
10、例2 2）本讲稿第十四页，共五十页第三章第二节第三章第二节磁磁 标标 势势本讲稿第二十页，共五十页2.磁标势磁标势原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功与路径无关，引引入入的的电电势势是是单单值值的的；而而静静磁磁场场一一般般不不为为零零，即即静静磁磁场场作作功功与与路路径径有有关关，即即使使在能引入的区域标势一般也不是单值的。在能引入的区域标势一般也不是单值的。一引入磁标势的两个困难2在电流为零区域引入磁标势可能非单值。在电流为零区域引入磁标势可能非单值。1磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。本讲稿第二十一页，共五十页二引入磁标势的条件语言表述：语言
11、表述：无自由电流分布的单连通区域可引入磁标势。无自由电流分布的单连通区域可引入磁标势。讨论：讨论：1 1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2 2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。公式表示公式表示显然只能在显然只能在区域引入，且在引入区域中区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。任何回路都不能与电流相链环。本讲稿第二十二页，共五十页三磁标势满足的方程1引入磁标势区域磁场满足的场方程引入磁标势区域磁场满足的场方程 不不不不仅仅仅仅可可可可用用用用于于于于均均均均匀匀匀匀各各各各向向向向同
12、同同同性性性性非非非非铁铁铁铁磁磁磁磁介介介介质质质质，而而而而且且且且也也也也可可可可讨讨讨讨论论论论铁磁介质或非线性介质。铁磁介质或非线性介质。铁磁介质或非线性介质。铁磁介质或非线性介质。2引入磁标势引入磁标势本讲稿第二十三页，共五十页3满足的泊松方程满足的泊松方程4边值关系边值关系与静电场类比本讲稿第二十四页，共五十页四静电场与静磁场方程的比较四静电场与静磁场方程的比较n静磁场静磁场n静电场静电场本讲稿第二十五页，共五十页静电势与磁标势的差别：静电势与磁标势的差别：因因为为到到目目前前为为止止实实验验上上还还未未真真正正发发现现以以磁磁单单极极形形式式存存在在的的自自由由磁磁荷荷。对对静
13、静磁磁场场人人们们认认为为分分子子电电流流具具有有磁磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。注意：在处理同一问题时，注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才
14、与电场强度地位相理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。本讲稿第二十六页，共五十页例例证明证明的磁性物质表面为等磁势面。的磁性物质表面为等磁势面。(P83例例1)证明：证明：120磁场边值关系磁场边值关系在该磁性物质外面，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。与表面垂直，因而表面为等磁势面。实际意义：实际意义：磁极设计，软铁磁材料磁极设计，软铁磁材料本讲稿第二十七页，共五十页例例 求磁化矢量为求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。(P83例例2)解：铁球内和铁球外为两
15、均匀区域，在铁球外没有磁荷，铁球内均匀磁化，因此磁荷只分布于铁球表面上，球外磁势1和球内磁势2都满足拉普拉斯方程：球外磁势随距离增大而减小：球内磁势R=0处有限：铁球表面的边值关系本讲稿第二十八页，共五十页比较Pn的系数本讲稿第二十九页，共五十页可以把线圈看成许多逆时针方向的小可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，小电流线圈的磁矩为电流线圈，小电流线圈的磁矩为产生的磁标势产生的磁标势（电偶极矩产生的电势为：（电偶极矩产生的电势为：）电流线圈在电流线圈在x 点产生的磁标势点产生的磁标势x 点在上方时，点在上方时，W 0W 0；x 点在下方时，点在下方时，W 0W 0。如果线圈构成平面，如果线
16、圈构成平面，x 点从上方趋于平面时，点从上方趋于平面时，W W 趋于趋于2p2p；x 点从下方趋于平面时，点从下方趋于平面时，W W 趋于趋于 -2p-2p。可见，。可见，在跨越平面时，在跨越平面时，W W 存在存在 4p 4p 的跃变。对于的跃变。对于线圈围成的曲面，线圈围成的曲面，4p 4p 跃变跃变仍然存在。仍然存在。曲面选取具有任意性，曲面选取具有任意性，4p 4p 跃变并不是客观事实，依赖于曲面的选取。实跃变并不是客观事实，依赖于曲面的选取。实际上，磁标势也与曲面选取有关，也不是一个具有独立物理意义的量，它只能是个际上，磁标势也与曲面选取有关，也不是一个具有独立物理意义的量，它只能是
17、个辅助物理量。辅助物理量。另一方面，由于在曲面两边，磁标势存在跃变，但是物理上要求磁标势在其定义区域连续（满另一方面，由于在曲面两边，磁标势存在跃变，但是物理上要求磁标势在其定义区域连续（满足足Poisson方程）方程），所以定义磁标势的区域必须扣除线圈围成的一个曲面。，所以定义磁标势的区域必须扣除线圈围成的一个曲面。例例求电流线圈产生的磁标势。（求电流线圈产生的磁标势。（P85例例3）本讲稿第三十页，共五十页设电流分布区域限度远小于设电流分布区域限度远小于设电流分布区域限度远小于设电流分布区域限度远小于R R R R，利用利用利用利用公式公式公式公式 3 磁多极矩磁多极矩本讲稿第三十三页，共
18、五十页对于静磁场问题：对于静磁场问题：对于静磁场问题：对于静磁场问题：这是稳恒电流的条件，所有电流线是闭合的。区域中的电流分布可看这是稳恒电流的条件，所有电流线是闭合的。区域中的电流分布可看这是稳恒电流的条件，所有电流线是闭合的。区域中的电流分布可看这是稳恒电流的条件，所有电流线是闭合的。区域中的电流分布可看成许多闭合成许多闭合成许多闭合成许多闭合“电流管电流管电流管电流管”，积分区域要包含所有电流，所有电流管均在，积分区域要包含所有电流，所有电流管均在，积分区域要包含所有电流，所有电流管均在，积分区域要包含所有电流，所有电流管均在积分区间内。积分区间内。积分区间内。积分区间内。对每个电流管对
19、每个电流管对每个电流管对每个电流管 所以所以所以所以对于某一闭合流管（可视为电流线圈），对于某一闭合流管（可视为电流线圈），对于某一闭合流管（可视为电流线圈），对于某一闭合流管（可视为电流线圈），1.1.展开式第一项展开式第一项 2.2.展开式第二项展开式第二项 本讲稿第三十四页，共五十页所以所以利用公式利用公式对于该电流管对于该电流管 如图，如图，将该面元矢量沿，将该面元矢量沿垂直和水平方向分解。对小线圈积分的结垂直和水平方向分解。对小线圈积分的结果，在水平方向抵消，而垂直分量就是小果，在水平方向抵消，而垂直分量就是小线圈围成的面积。线圈围成的面积。磁偶极矩磁偶极矩本讲稿第三十五页，共五十页
20、对于体电流分布对于体电流分布 磁偶极矩激发的矢势磁偶极矩激发的矢势利用公式利用公式利用公式利用公式1.1.磁偶极矩激发的磁场磁偶极矩激发的磁场 本讲稿第三十六页，共五十页利用公式利用公式利用公式利用公式又又又又磁偶极矩的磁标势磁偶极矩的磁标势磁偶极矩的磁标势磁偶极矩的磁标势2.2.磁偶极矩激发的磁标势磁偶极矩激发的磁标势 本讲稿第三十七页，共五十页宏观电流线圈的磁偶极矩。宏观电流线圈的磁偶极矩。考虑以宏观电流线圈为周界的任一曲面。设想，面考虑以宏观电流线圈为周界的任一曲面。设想，面上布满电流为上布满电流为I 的小电流环，在内部，电流相互抵消。的小电流环，在内部，电流相互抵消。这一假想系统与原系
21、统等效。这一假想系统与原系统等效。系统总磁矩？：宏观电流线圈的磁矩依赖于曲面的选择吗？再选择另一曲面S2，且根据电流环绕方向规定dS2方向。所以，宏观电流线圈的磁矩不依赖曲面的选择。所以，宏观电流线圈的磁矩不依赖曲面的选择。本讲稿第三十八页，共五十页电流分布与外磁场的相互作用能电流分布与外磁场的相互作用能:载流线圈与外磁场的相互作用能载流线圈与外磁场的相互作用能:载流小线圈情形：载流小线圈情形：如果区域线度远小于外磁场发生显著变化的线度，选坐标原点在如果区域线度远小于外磁场发生显著变化的线度，选坐标原点在线圈区域内某点，则可以展开外磁场线圈区域内某点，则可以展开外磁场?：电偶极子在外场中的能量
22、为：电偶极子在外场中的能量为 ，与上式比较，相差一负号，这，与上式比较，相差一负号，这是否意味着磁偶极矩受到外磁场作用将倾向于外场的反方向？是否意味着磁偶极矩受到外磁场作用将倾向于外场的反方向？本讲稿第三十九页，共五十页设外场由另一载有电流设外场由另一载有电流 的线圈的线圈 产生，相互作用能为产生，相互作用能为 设线圈偏转时保持电流不变，每个线圈激发磁场的设线圈偏转时保持电流不变，每个线圈激发磁场的能量（自能）不变，总能量的变化为能量（自能）不变，总能量的变化为线圈偏转时，磁通量发生变化，回路中产生感应电动势线圈偏转时，磁通量发生变化，回路中产生感应电动势 感应电动势试图改变线圈中电流，要维持
23、电流不感应电动势试图改变线圈中电流，要维持电流不变，电源必须提供能量，抵抗感应电动势作功。变，电源必须提供能量，抵抗感应电动势作功。感应电动势在时间感应电动势在时间d d t 内作功内作功 要要维持电流不变，电源须提供能量维持电流不变，电源须提供能量线圈偏转时，设磁场对它作功为线圈偏转时，设磁场对它作功为d d A，由能量守恒，由能量守恒（系统包含：电源、磁场和两个线圈）（系统包含：电源、磁场和两个线圈）在电流不变，磁场对线圈作功为相互作用能的增量。在电流不变，磁场对线圈作功为相互作用能的增量。本讲稿第四十页，共五十页磁偶极矩的势函数磁偶极矩的势函数 磁偶极矩在外磁场中所受力磁偶极矩在外磁场中
24、所受力利用公式利用公式磁偶极矩在外磁场中所受力矩磁偶极矩在外磁场中所受力矩力矩应使力矩应使q q 减小减小 对于静磁场，也可引入势函数，磁场作功使势函数减少 势函数势函数(磁势能磁势能)、力和力矩、力和力矩 本讲稿第四十一页，共五十页第三章第三章第四节第四节阿哈罗诺夫阿哈罗诺夫-玻姆效应玻姆效应第五节第五节超导体的电磁性质超导体的电磁性质间接本讲稿第四十二页，共五十页3.4 3.4 阿哈罗诺夫-玻姆效应Aharonov-Bohm(A-B)A-B)n1959年年阿阿哈哈罗罗诺诺夫夫-玻玻姆姆提提出出在在量量子子力力学学可可适适用用的的微微观观态态中中和和有有可可观观测测的的物物理理效效应应，这这
25、一效应被称为一效应被称为A-B效应。效应。A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用应不能完全用来描述，矢势可以对电子发来描述，矢势可以对电子发生相互作用。但是由于生相互作用。但是由于的任意性，用它描的任意性，用它描述磁场显然又过多。述磁场显然又过多。本讲稿第四十三页，共五十页带带有有螺螺线线管管电电子子衍衍射射实实验验发发现现，能能够够完完全全且且恰恰当当的的描描述述磁磁场场的的物物理理量量是是相相因因子子：。若若L为为可可缩缩小小到到一一点点的的无无穷穷小小路径，则路径，则因因此此相相因因子子描描述述等等价价于于局局域域磁磁场场的的描描述述。但但
26、是是当当L为为不不能能缩缩小小到到一一点点的的路路径径时时，则则相相因因子子所所包包含含的的物物理理信信息息就就不能用局域场不能用局域场B(x)描述。描述。螺线管螺线管本讲稿第四十四页，共五十页3.5 3.5 超导体的电磁性质超导体的电磁性质一一些些元元素素、化化合合物物、合合金金等等，当当温温度度下下降降到到某某临临界界值值T Tc c以以下下时时，电电阻阻率率下下降降为为零零的的现现象象称称为为超超导导电电性性。T Tc c以以下下的的状态称为超导态，临界磁场为：状态称为超导态，临界磁场为：一超导电性一超导电性在在19861986年年以以前前，人人们们所所发发现现的的超超导导材材料料的的临
27、临界界温温度度都都非非常常低低（大大约约在在3 35k5k左左右右。19861986年年以以来来，人人们们陆陆续续发发现现了了一一系系列列有有较较高高临临界界温温度度的的超超导导材材料料，这这些些高高温温超超导导材材料具有非常广阔的应用前景。料具有非常广阔的应用前景。本讲稿第四十五页，共五十页二迈斯纳效应二迈斯纳效应超超导导体体内内部部（不不包包括括导导体体的的表表面面层层）的的磁磁感感应应强强度度为为零零，且且与与超超导导体体所所经经历历的的历历史史无无关关。若若物物体体原原来来处处于于超超导导态态，当当加加上上外外磁磁场场时时，只只要要磁磁场场强强度度不不超过超过Hc，则，则B不能进入超导
28、体。不能进入超导体。这这一一效效应应表表示示超超导导体体不不能能简简单单的的看看作作通通常常导导体体当当电导率电导率时的极限。时的极限。通常导体内通常导体内常矢量常矢量本讲稿第四十六页，共五十页对于交变电流对于交变电流 ，因因此此导导体体内内仍仍然然有有电电阻阻损耗。但是对于一般低频交变电流，损耗很小。损耗。但是对于一般低频交变电流，损耗很小。为超导电流密度，为超导电流密度，n ns s为超导电子密度。为超导电子密度。对于稳恒电流：对于稳恒电流：对于稳恒电流：对于稳恒电流：导体内电流完全为超导电流。导体内电流完全为超导电流。内部内部三超导体的电磁性质方程1 1伦敦第一方程伦敦第一方程 本讲稿第
29、四十七页，共五十页2.2.伦敦第二方程伦敦第二方程 ，它它表表明明了了超超导导体体磁磁场场与与电电流互相制约的关系。流互相制约的关系。可可以以证证明明，伦伦敦敦两两个个方方程程与与麦麦斯斯韦韦方方程程是是相相容容的的，并并且且从从两两个个方方程程可可以以导导出出迈迈斯斯纳纳效效应应。经经上上述述分分析析，可可以以清清楚楚的的看看到到超超导导体体中中的的电电流流和和磁磁场场只只能能存存在在于于超导体的表面层内，而不能深入到导体的内部。超导体的表面层内，而不能深入到导体的内部。本讲稿第四十八页，共五十页3.超导体作为完全抗磁体超导体作为完全抗磁体4.超导环内的磁通量子化超导环内的磁通量子化5.非局域理论非局域理论本讲稿第四十九页，共五十页习题n1，3，4n9，10，11，12本讲稿第五十页，共五十页