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1、一、对面积的曲面积分的计算法一、对面积的曲面积分的计算法:则按照曲面的不同情况分为以下三种：则则计算方法：一投、二代、三换计算方法：一投、二代、三换第1页/共52页说明：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积微元.第2页/共52页 解 例例1第3页/共52页例例2 2解解第4页/共52页的计算步骤的计算步骤:第5页/共52页例例3：解：解：说明：说明：当当S只取平只取平面面x+y+z=1时时,即为即为
2、P.282 习题习题1(4).第6页/共52页 解 将 分解为12 其中D2 x2 y2 1 1 z 1 D1 x2 y2 1 dS dxdy 例例4 (P.282 习题习题1(2):第7页/共52页 第8页/共52页利用对称性计算对面积的曲面积分第9页/共52页解解依对称性知：第10页/共52页第11页/共52页解Dxy x2 y2 2ax 例例6第12页/共52页第13页/共52页二二、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分决定了决定了侧的曲面称为侧的曲面称为有向有向曲面曲面.，曲面取，曲面取 下下 侧侧，曲面取，曲面取 上上 侧侧，曲面取，曲面取 左左 侧侧，曲面取，曲面取 右右 侧侧，曲面取
3、，曲面取 后后 侧侧，曲面取，曲面取 前前 侧侧曲面曲面法向量的法向量的指向指向决定了曲面的决定了曲面的侧侧.第14页/共52页注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.“一投一投,二代二代,三定号三定号”方法一：定义法方法一：定义法则有给出,由如果 第15页/共52页(y z)Dyz(y z)|0 y 1 0 z 3 故(1).在xOy面的投影为零 故解(2)可表示为第16页/共52页 (3)可表示为：(z x)Dzx(z x)|0 z 3 0 x 1 故所以第17页/共52页方法二：方法二：利用两类曲面积分之间的联系：利用两类曲面积分之间的联系：
4、方法三：方法三：将对三个坐标面的积分转化到一将对三个坐标面的积分转化到一个坐标面个坐标面.第18页/共52页第19页/共52页方法：这就把三个坐标的积分转化为一个坐标面上的积分.代入下式代入下式第20页/共52页方法四：高方法四：高 斯斯 公公 式式第21页/共52页使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:Gauss公式的实质：公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.Gauss公式的实质：公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的
5、关系曲面上的曲面积分之间的关系.第22页/共52页对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算方法定义法或闭合闭合补加曲面使得闭合利用高斯公式或用公式两类曲面积分之间的关系第23页/共52页练习练习:P.296 题题1(5)其中其中 为半球面为半球面的上侧的上侧.且取下侧且取下侧,提示提示:以半球底面以半球底面原式原式=记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面,利用利用第24页/共52页P y2 z Q z2 x R x2 y 设 1为z h(x2 y2 h2)的上侧 解 为由 与 1所围成的空间区域 则由高斯公式第25页/共52页从而第26页/共52页解解利用
6、两类曲面积分之间的联系第27页/共52页第28页/共52页方法二：第29页/共52页例例10解解第30页/共52页解：补上解：补上 方向如图方向如图 方法二方法二第31页/共52页第32页/共52页1234 1 x 0 Dyz 0 y 1 0 z 1 y 2 y 0 Dzx 0 z 1 0 x 1 z 3 z 0 Dxy 0 x 1 0 y 1 x 4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 其中解第33页/共52页 由积分变元的轮换对称性可知:第34页/共52页1 12 23 34 4 其中其中 1 1、2 2、3 3是位于坐标是位于坐标面上的三块面上的三块 解二：4 z 1 x
7、 y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 显然在显然在 1 1、2 2、3 3上的曲面积分均为零上的曲面积分均为零 第35页/共52页第36页/共52页第37页/共52页例例13解解利用两类曲面积分之间的关系第38页/共52页第39页/共52页三三、斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1.设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线,(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数个空间域内具有连续一阶偏导数,的的侧与侧与 的正向符合的正向符合右手法则右手法则,在包含在包含 在内的一在内的一则有则有简介 第40页/共52页例例18.利用斯托克斯公式计算积利用斯托克斯公
8、式计算积分分其中 为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整解解:记三角形域为,取上侧,则个边界,方向如图所示.利用对称性利用对称性第41页/共52页例例19.为柱为柱面面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,解解:设 为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦计算第42页/共52页四、空间曲线积分与路径无关的条件四、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2.设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数 u,使(4)在
9、G内处处有第43页/共52页与路径无关,解解:令 积分与路径无关,因此例例20.验证曲线积验证曲线积分分并求函数第44页/共52页例例16.计算曲面积分计算曲面积分其中,解解:思考思考:本题本题 改为椭球面改为椭球面时时,应如何应如何计算计算?提示提示:在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面内侧内侧,然后用高斯公式然后用高斯公式.第45页/共52页解解第46页/共52页第47页/共52页解解 空间曲面在 面上的投影域为曲面 不是封闭曲面,为利用高斯公式第48页/共52页根据对称性可知第49页/共52页故所求积分为 1法向量为0,0,10,0,1第50页/共52页练习练习(P.296 7).证明证明:设(常向量常向量)则单外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为的 第51页/共52页感谢您的观看。第52页/共52页