《曲面积分习题课ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲面积分习题课ppt课件.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分曲面积分习题课变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分22 , , ( , ) 1d d ;xyxyDf x y z x yzzx y ( , , )df x y zS ),(:)1yxzz 若若曲曲面面则则 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：22 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z ( , , )df x y z
2、S 则则),(:)2zxyy 若若曲曲面面第一类曲面积分1. 基本计算公式变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分22 ( , ), , 1d d .yzyzDf x y zy zxxy z ( , , )df x y zS ),()3zyxx ：若若曲曲面面则则计算的关键是看所给曲面方程的形式！计算的关键是看所给曲面方程的形式！变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 若若,),( , ),(:zyDz
3、yzyxx则有则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)若若yxzyxRdd),( , , )x yDR x y ),(yxzyxdd注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .(上正下负上正下负):( , ), ( , ),xyzz x yx yD则有则有第二类曲面积分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变
4、电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos两类关系变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量为为设设d dd dd dIP y zQ z xR x y , ,1d dxyP Q Rffx y , ,1d d .xyxyDxoyP Q Rffx y 将将 在在面面投投影影两类关系公式的另一种表达形式变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配
5、电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分向量点积法向量点积法 :( , ),1,xzyg x zgg 设设法法向向量量为为d dd dd dIP y zQ z xR x y , ,1,d dxzP Q Rggx z , ,1,d d .xzxzDxozP Q Rggx z 将将 在在面面投投影影变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分向量点积法向量点积法 :( , ),1,yzxh y zhh设设法法向向量量为为d dd dd dIP y zQ z xR x y ,1,d dyzP
6、 Q Rhhy z ,1,d d .yzyzDyozP Q Rhhy z 将将 在在面面投投影影变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、高斯公式一、高斯公式()d( coscoscos )dPQRvPQRSxyz 或或定理定理变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量
7、为的通量为 ),(RQPA SnAd2. 通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 zRyQxPAdiv变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式yozx斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 nd dd dd dy zz xx yxyzPQR zRyQxPddd coscoscosdSxyzPQR 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的
8、主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2. 2. 旋度旋度(rot ) .ijkAxyzPQR 称称向向量量为为向向量量场场的的旋旋度度.)()()(kyPxQjxRzPizQyR 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2222d ,06xSxyaz求其中为柱面 22ddxSyS222231ddd622axSxySSa解：由于
9、关于变量 x, y 轮换对称性 例例1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,122222的的上上半半部部分分为为椭椭球球面面设设 zyxS,),(处处的的切切平平面面在在点点为为点点PSSzyxP ,)0 , 0 , 0(的的距距离离到到平平面面为为点点O解解,),(上上任任意意一一点点为为设设 ZYX的的方方程程为为则则得得出出 122 zZyYxX由点到平面的距离公式由点到平面的距离公式,得得例例2),(zyx .d),(SzyxzS 求求222441),(zyxzyx 变电站电气主接线是指
10、变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分22122yxz 由由,221222yxxxz 221222yxyyz yxyzxzSdd1d22 得得yxyxyxdd221242222 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分所所以以SzyxzSd),( xyDyxyxdd)4(412232 122:22 yxDxyyxyxyxSdd22124d2222 222441),(zyxzyx 222001d(4) d4rr r 变电站电
11、气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 222sind .yxyzS 求求224zxyz 为为旋旋转转抛抛物物面面被被平平面面所所截截得得的的部部分分。 222sind0yxyzS 解：利用奇偶对称性例例3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222d dd dd d ,1,2Iy y zx z xzx yzxyzz 计计算算其其中中为为锥锥面面被被平平面面所所截截部部分分的的外外侧侧例例4解解,2222yx
12、yfyxxfyx D 利用向量点积法利用向量点积法法1：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 21220rdrrd.215 2d dzx y 22()d dxyDxyx y 22222,1 d dxyIyx zx yxyxy 41:22 yxDxy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分用高斯公式用高斯公式.补面：补面： 取下面，取下面，221:1,1zxy取上面。取上面。222:2,4zxy则则 构
13、成封闭曲面，且取外侧。构成封闭曲面，且取外侧。12 122d dd dd d ,y y zx z xzx y 计算计算2,Py Qx Rz 由高斯公式由高斯公式d dd dd d()dPQRP y zQ z xR x yvxyz 法2：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分122d dd dd d ,y y zx z xzx y 2 dz v 22211152 dd d2d2zDz zx yz zz12()d dd dd dy y zx z xzx y 下下侧侧22()d dd dd d16y y
14、 zx z xzx y 上上侧侧 1122I 下下下下外外上上152 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分122d dd dd d ,y y zx z xzx y 2zdv 21222200101dd2 ddd2 drr rz zr rz z （柱柱坐坐标标）注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,dd),(dd),(2dd),(yxzzyxfxzyzy
15、xfzyxzyxfI 计算计算例例5解解 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系的法向量为的法向量为 ,31cos )1 , 1, 1( n,31cos 31cos ,),(为连续函数为连续函数其中其中zyxf在第四卦限部分的在第四卦限部分的为平面为平面1 zyx 上侧上侧. .zxyO11 1 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 ),(xzyxfI Szyxd)(31 xyDyxdd313121 Sd131),(),(2zzyxfyzyxf xzyzyxfzyxzyxfIdd)
16、,(2dd),( yxzzyxfdd),( 3131 31SdxyO1 1d111d d3d dSx yx y:1xyz zyxoddd ddd ,xyzyzxzxy 其中 222yxRz的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面0原式 =3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用为半球面例例6例例7.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 .
17、 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a例例8. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:31d dd dd d ()Ix y zy z xz x yR 代入方程313d ddxyzR（高斯公式）4引申引申: 1.本题 改为椭球面1222222czbyax 时, 应如何计算 ?应如何计算 ?2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中
18、一个重要组成部分1222222czbyax:yxrzxzryzyrxIdddddd333,222zyxr计算：其中：3xPr3yQr3zRr2223355133()xPxxrxxrrrr22353()yQyryyrr22353()yRzrzzrrx,y,z 当()0,0,0引申引申: 1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分22221:()xyz充分小 取内侧，然后用高斯公式 .0PQRxyz1333ddd dd d0 xyzyzzxxyrrr 1333333ddd dd dddd dd dxyz
19、yzzxxyrrrxyzyzzxxyrrr 1313d ddxyz（高斯公式）4变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分引申引申: 2分两种情形情形1： 不包围原点的任意闭曲面。333ddd dd d00 xyzIyzzxxydvrrr情形2： 包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申1类似的情形。2121I例例9. 设 是曲面2221: zxy9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI解解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧 使其包在 内, 为 xoy 平面
20、上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧, 计算, )0( z则221ozyx)2(133I2121I1dddddd13yxzxzyzyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得0 dv232220 d d()xyxy例例10. 计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式(曲面关于xoz面对称）xzoy例例11.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时
21、针方向, 计算 解解: 记 为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLDDyxyxdd)6(2Dxyo11Dyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222xyz1.设为球面+=1的上半部分的上侧，则下列式子错误的是( ) 2d d0Axy z d d0By y z d d0Cx y z2d d0Dyy z
22、C选择题：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222221,d.yozyzxyzS2.设是平面上的圆域则等于 0;A ;B ;4C.2D22221,d d.xyzxyzDxoyxyz y z3.设是旋转抛物面+,1的外侧，是平面上圆域则可化为二重积分 222 d d ;xyDAxyx x y 222d d ;xyDBxyxx y 222 d d ;xyDCxyy x y22d d ;xyDDxyx yDA变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站
23、的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分24.d d.x+ y+ zxyzx y2已知曲面为=1在第一卦限部分且方向向下，则等于 B 112200d1 d ;xAxxyxyy 112200d1 d ;xBxxyxyy 112200dd ;xCyxyzx112200dd .xDxxyzy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分5.2222x + y +z = R设S为球面：，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是 22d ,d d ;SSAxSxy z 2d ,d d ;SSBx Sxy z d ,d d ;SSCx Sx y zd ,d d .SSDxy Sy z xB