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1、曲面积分习题课则则 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：则则第一类曲面积分1.基本计算公式则则计算的关键是看所给曲面方程的形式！计算的关键是看所给曲面方程的形式！若若则有则有 若若则有则有(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)若若注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.(上正下负上正下负)则有则有第二类曲面积分两类关系向量点积法向量点积法两类关系公式的另一种表达形式向量点积法向量点积法向量点积法向量点积法一、高斯公式一、高斯公式定理定理设设向量场向量场P,Q,R,在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数,则则 向量场通过有向
2、曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 2.通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 2.2.旋度旋度2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化解：由于 关于变量 x,y 轮换对称性 例例1解解由点到平面的距离公式由点到平面的距离公式,得得例例2得得解：利用奇偶对称性例例3例例4解解利用向量点积法利用向量点积法法1：用高斯公式用高斯公
3、式.补面：补面：取下面，取下面，取上面。取上面。则则 构成封闭曲面，且构成封闭曲面，且取外侧。取外侧。计算计算由高斯公式由高斯公式法2：注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。例例5解解 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系上上侧侧.其中 的上侧.且取下侧,提示提示:以半球底面原式=记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面,利用为半球面例例6例例7.证明证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为的 例例8.计算曲面积分其中,解解:引申引申:1.本题 改为椭球面 时,应如何计算?应如何计算?2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，:计算：其中：引申引申:1然后用高斯公式.引申引申:2分两种情形情形1：不包围原点的任意闭曲面。情形2：包围原点的任意闭曲面。问题转化为与引申1类似的情形。例例9.设 是曲面解解:取足够小的正数,作曲面取下侧 使其包在 内,为 xoy 平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得例例10.计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式(曲面关于xoz面对称）例例11.设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.由斯托克斯公式选择题：