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1、会计学1曲面积分习题课曲面积分习题课2Gauss)、2.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算1.了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.3.会用曲面积分求一些会用曲面积分求一些几何量与几何量与物理量物理量.一、教学要求一、教学要求一、教学要求一、教学要求第1页/共34页理论上的联系理论上的联系理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式第
2、2页/共34页3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式第3页/共34页梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步第4页/共34页则则 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：则则对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法第5页/共34页则则计算的关键是看所给曲面方程的形式！计算的关键是看所给曲面方程的形式！曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。变量所确定的坐标平面投影
3、，得到积分区域。第6页/共34页对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法解法有三种解法有三种1.利用高斯公式利用高斯公式具有具有则则外侧外侧.一阶连续偏导数一阶连续偏导数,第7页/共34页具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则1.利用高斯公式利用高斯公式第8页/共34页2.通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分注意注意的确定的确定!第9页/共34页3.向量的点积法向量的点积法规定规定yxzzRQPyxdd)1,(),(-=S S第10页/共34页解解由点由点O到平面的距离公式到平面的距离公式,得得例例第11页/共34页得得第12页/共34页rrrd)4(d412022 0 -=p
4、 pq q第13页/共34页解：由于解：由于 关于变量关于变量 x,y 轮换对称性轮换对称性 例例第14页/共34页例例解解利用向量的点积法利用向量的点积法第15页/共34页1-1第16页/共34页例例解解 法法一一：利利用用向向量量点点积积法法第17页/共34页第18页/共34页用高斯公式用高斯公式.补面：补面：取下面，取下面，取上面。取上面。则则 构成封闭曲面，且构成封闭曲面，且取外侧。取外侧。计算计算由高斯公式由高斯公式法法2 2：第19页/共34页第20页/共34页注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。第21页/共34页23解解 球
5、球 例例外侧外侧.第22页/共34页其中其中 的上侧的上侧.且取下侧且取下侧 ,提示提示:以半球底面以半球底面原式原式 =记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面,利用利用为半球为半球面面例例第23页/共34页例例例例证明证明:设设(常向量常向量)则则单位外法向向量单位外法向向量,试证试证设设 为简单闭曲面为简单闭曲面,a 为为任意固定任意固定向量向量,n 为为 的的 第26页/共34页例例例例 计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解:利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式(曲面关于曲面关于xoz面面对称）对称）第27页/共34页29例例 计算曲线积分计算曲线积分其中其中 为曲线为曲线若从若从x轴正向看过去轴正向看过去,为取逆时针方向为取逆时针方向.解解 设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘,所在的曲面方程为所在的曲面方程为 取上侧取上侧,其单位法向量为其单位法向量为 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,第28页/共34页30设设 为为 所围的圆盘所围的圆盘 第29页/共34页选择题选择题：第30页/共34页第31页/共34页第32页/共34页第33页/共34页