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1、期望与方差的性质本讲稿第一页，共三十四页2性质性质 4 的逆命题不成立，的逆命题不成立，即即若若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定不一定相互独立相互独立.反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注注本讲稿第二页，共三十四页3X Y P-1 0 1但但本讲稿第三页，共三十四页4若若X 0，且，且EX 存在，则存在，则EX 0。推论推论:若若 X Y，则，则 EX EY。证明：设证明：设 X 为连续型，密度函数为为连续型，密度函数为f(x),则则由由X 0 得：得：所以所以证明证明：由已知：由已知 Y-X0，则，则 E(Y-X)0。而而E(Y-X)=E(Y)-E(X)
2、,所以，所以，E(X)E(Y)。本讲稿第四页，共三十四页5性质性质2 2和和3 3性质性质4 4例例1.1.设设 XN(10,4)，YU1,5，且，且X与与Y相相互独立，求互独立，求 E(3X2XYY5)。解：解：由已知，由已知，有有 E(X)10,E(Y)3.本讲稿第五页，共三十四页6例例2.(.(二项分布二项分布 B(n,p)设单次实验成功的概率是设单次实验成功的概率是 p，问，问n次独立重复试验中，期望几次成功？次独立重复试验中，期望几次成功？解解:引入引入则则 X X1+X2+Xn 是是n次试验中的成功次数。次试验中的成功次数。因此因此，这里，这里，XB(n,p)。本讲稿第六页，共三十
3、四页7例例3.将将4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入4个盒子中个盒子中,每盒容纳每盒容纳的球数无限的球数无限,求空着的盒子数的数学期望求空着的盒子数的数学期望.解一解一:设设 X 为空着的盒子数为空着的盒子数,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 3本讲稿第七页，共三十四页8解二解二:再引入再引入 X i ,i=1,2,3,4.Xi P 1 0本讲稿第八页，共三十四页9例例4.4.将将n个球放入个球放入M个盒子中个盒子中,设每个球落入各个盒设每个球落入各个盒子是等可能的子是等可能的,求有球的盒子数求有球的盒子数X的期望。的期望。解解:引入随机变量引入随机变量:则则
4、X=X1+X2+XM ,于是于是 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(XM).每个随机变量每个随机变量Xi 都服从两点分布都服从两点分布,i=1,2,M.本讲稿第九页，共三十四页10 因为因为每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，所以，对第对第i个盒子个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-(1-1/M).).故，故，n个球都不落入这个盒子内的概率为个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n,即即:本讲稿第十页，共三十四页11 注：注：129页页4.27以此题为模型以此题为模型。本讲稿第十一页，共三十四页12
5、例例5.5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即器所用次数的增加而指数下降，即P第第k次生产出的产品是正品次生产出的产品是正品=假设每次生产假设每次生产100100件产品，试求这台机器前件产品，试求这台机器前1010次次生产中平均生产的正品总数。生产中平均生产的正品总数。解：解：设设X是前是前1010次生产的产品中的正品数，并设次生产的产品中的正品数，并设本讲稿第十二页，共三十四页13 例例5.5.（续）（续）本讲稿第十三页，共三十四页14 例例6.某厂家的自动生产线，某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率生产一件正
6、品的概率为为 p(0p1)，生产一件次品的概率为，生产一件次品的概率为q=1-p。生。生产一件产品的成本为产一件产品的成本为c元，正品的价格为元，正品的价格为s元，元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利sc元，元，生产一件次品亏损生产一件次品亏损c元（假定每个产品元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。的生产过程是相互独立的）。若生产了若生产了N件产品，件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？问厂家所获利润的期望值是多少？本讲稿第十四页，共三十四页15 解解：设第：设第j j个产品的利润个产品的利润则则 为为N件产品的总利润。件产品的总利润。Yj-
7、cs-cPqp由已知由已知本讲稿第十五页，共三十四页16 前面我们介绍了随机变量的数学期望，前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的平均是不够的.4.2 随机变量的方差随机变量的方差本讲稿第十六页，共三十四页17 例如例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击1010发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果
8、好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好.中心中心中心中心本讲稿第十七页，共三十四页18 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度用它来度量量随机变量取值在其中心附近的离散程度随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差本讲稿第十八页，共三十四页19 设设随随机机变变量量X的的数数学学期期望望为为E(X),若若E(X-E(X)2存存在在,则则称称它它为为X 的的方方差差（此此时
9、时，也也称称X的方差存在的方差存在)，记为，记为Var(X)或或D(X),即即定义定义称称Var(X)的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X).A.方差的概念方差的概念Var(X)=E(X-E(X)2 本讲稿第十九页，共三十四页20 若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。的离散程度。若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差本讲稿第二十页，共三十四页21 注意：注意：1)Var(X)0，
10、即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2）当当X 服服从从某某分分布布时时，我我们们也也称称某某分分布布的的方差为方差为Var(X)。3)方方差差是是刻刻划划随随机机变变量量取取值值的的分分散散程程度度的的一一个个特征。特征。本讲稿第二十一页，共三十四页22 方差的计算公式方差的计算公式(1)(1)若若 X 为离散型，概率分布为为离散型，概率分布为(2)(2)若若 X 为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为 f(x),则则则则本讲稿第二十二页，共三十四页23 方差的计算公式方差的计算公式常用的公式：常用的公式：证明证明:本讲稿第二十三页，共三十四页24 常见随机变量的方差常见随机变量
11、的方差(1)(1)参数为参数为p 的的 01分布分布 概率分布为：概率分布为：前面已经计算过：前面已经计算过：E(X)=p，又，又所以所以本讲稿第二十四页，共三十四页25 概率分布为：概率分布为：已计算过：已计算过：E(X)=np，又，又 所以所以(2)(2)二项分布二项分布B(n,p)本讲稿第二十五页，共三十四页26 概率分布为：概率分布为：已计算过：已计算过：E(X)=，又，又 所以所以(3)(3)泊松分布泊松分布P()本讲稿第二十六页，共三十四页27 概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又，又 所以所以(4)(4)区间区间 a,b 上的均匀分布上的均匀分
12、布U a,b 本讲稿第二十七页，共三十四页28 概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=1/，又，又 所以所以(5)(5)指数分布指数分布E()本讲稿第二十八页，共三十四页29 概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=，所以，所以(6)(6)正态分布正态分布N(,2)本讲稿第二十九页，共三十四页30 例例7.设设求求 E(Y),D(Y).解解:本讲稿第三十页，共三十四页31 本讲稿第三十一页，共三十四页32 例例8.已知已知 X 的密度函数的密度函数为为其中其中 A，B 是常数，是常数，且且 E(X)=0.5.(1)求求 A，B.(2)(2)设设 Y=X2,求求 E(Y),D(Y).本讲稿第三十二页，共三十四页33 解解:(1)本讲稿第三十三页，共三十四页34(2)f(x)=(-6x2+6x)I(0,1)本讲稿第三十四页，共三十四页