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1、期望与方差在生活中的一些应用本讲稿第一页，共十四页内容概要内容概要1.知识讲解：2.例题分析 所带来的实际意义3.小组总结方差来源性质定义期望来源性质定义本讲稿第二页，共十四页早在早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得家可以获得100法郎的奖励。录比赛进行到第三局的时法郎的奖励。录比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中候，甲胜
2、了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个法郎。这个故事里出现了故事里出现了“期望期望”这个词，数学期望由此而这个词，数学期望由此而来。来。期望的来源期望的来源本讲稿第三页，共十四
3、页离散型随机变量的期望：离散型随机变量的期望：已已知知随随机机变变量量的的分分布布列列为为(=x k)=p k (k=1,2,),称称为为的的数数学学期期望望,简简称称期期望望.它它刻刻划划了了所所取取值值的平均水平的平均水平.期望的性质期望的性质:本讲稿第四页，共十四页方差的来源方差的来源方差是数理统计里面的概念方差是数理统计里面的概念,多用在分析一组数据的分布特多用在分析一组数据的分布特性用的性用的.从文字的角度上从文字的角度上,一组数的方差中一组数的方差中“方方”是指平方是指平方,“差差”是是指数字与这一组数的平均值的差。实际的计算公式是指数字与这一组数的平均值的差。实际的计算公式是方差
4、方差=（所有的数字其平均值的平方之和（所有的数字其平均值的平方之和除以个数减除以个数减1）之后开根）之后开根号，例如号，例如数字数字123平均值为平均值为2，方差，方差=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2)/(3-1)(1/2)=1按照这个计算顺序，其实是先求差，后平按照这个计算顺序，其实是先求差，后平方，应叫方，应叫“差方差方”(开玩笑的开玩笑的)。方差的意义，一组数的方差表示了这一组数的分布范围的大方差的意义，一组数的方差表示了这一组数的分布范围的大小，即在方差范围内的分布概率可以通过估计得到。方差越小，即在方差范围内的分布概率可以通过估计得到。方差越大则这一组数的分布就越分散。大则
5、这一组数的分布就越分散。本讲稿第五页，共十四页2方差的性质方差的性质:1离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：方差反映了随机变量的取值的稳定和波动方差反映了随机变量的取值的稳定和波动,相对期望的集中或偏离程度相对期望的集中或偏离程度本讲稿第六页，共十四页常见的离散型随机变量的期望与方差常见的离散型随机变量的期望与方差:(1)二项分布二项分布(2)几何分布几何分布本讲稿第七页，共十四页例例交元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样交元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小大小的球个，其中有个标有元钱，个标有的球个，其中有个标有元钱，个标有元钱，摸奖者只能从中任取个球，他所得的奖励元钱，摸奖者只
6、能从中任取个球，他所得的奖励是所抽球的钱数之和。求抽奖人获利的数学期望。是所抽球的钱数之和。求抽奖人获利的数学期望。设设为抽到的为抽到的2球钱数之和球钱数之和,则则的分布列如下的分布列如下:2610P设设为抽奖者获利值为抽奖者获利值,则则=-5,解解:本讲稿第八页，共十四页 说明说明:事实上事实上,任何赌博、彩票都是任何赌博、彩票都是不公平的不公平的,否则赌场的巨额开销和否则赌场的巨额开销和业主的高额利润从何而来业主的高额利润从何而来?在在我国我国,彩票发行只有当收益主要用彩票发行只有当收益主要用于公益事业时才允许于公益事业时才允许.本讲稿第九页，共十四页例例2 2 某投资者有某投资者有101
7、0万元万元,现有两种投资方案现有两种投资方案:一是购买股一是购买股票票,二是存入银行获取利息二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于经济买股票的收益主要取决于经济形势形势,假设可分三种状态假设可分三种状态:形势好形势好(获利获利4000040000元元)、形势中、形势中等等(获利获利1000010000元元)、形势不好、形势不好(损失损失2000020000元元).).如果存入银如果存入银行行,假设年利率假设年利率8%,8%,即可得利息即可得利息80008000元元.又设经济形势好、又设经济形势好、中等、不好的概率分别为中等、不好的概率分别为30%30%、50%50%和和20%.20%.试
8、问该投资者应试问该投资者应该选择哪一种投资方案该选择哪一种投资方案?本讲稿第十页，共十四页分析分析购买股票的收益与经济形势有关购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与存入银行的收益与经济形势无关经济形势无关.因此因此,要确定选择哪一种方案要确定选择哪一种方案,就必须通过就必须通过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断计算两种方案对应的收益期望值来进行判断.设设1为购买股为购买股票收益票收益,2为存入银行收益为存入银行收益.1400001000020000P0.30.50.2购买股票购买股票2800080008000P0.30.50.2存入银行存入银行本讲稿第十一页，共十四页说明说明:该题
9、是按风险决策中该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方的期望收益最大准则选择方案案,这种做法有风险存在这种做法有风险存在.本讲稿第十二页，共十四页小组总结小组总结:1.期望能帮助我们在实际生活中估算出一个相对平均期望能帮助我们在实际生活中估算出一个相对平均的值，为我们在面临各种决策时提供具体的数据依的值，为我们在面临各种决策时提供具体的数据依据，虽然不是完全的准确，但能给我们指出一个具据，虽然不是完全的准确，但能给我们指出一个具体的方向体的方向2.方差可以具体的反应一组数据的波动水平，能够反应出方差可以具体的反应一组数据的波动水平，能够反应出一个事件或事物在某个时间段内的各种情况，有利于我一个事件或事物在某个时间段内的各种情况，有利于我们更仔细的观察和分析问题后，得出相对准确的判断和们更仔细的观察和分析问题后，得出相对准确的判断和正确的抉择正确的抉择本讲稿第十三页，共十四页以上内容均属本小组个人意见，如有雷同以上内容均属本小组个人意见，如有雷同和不同意见，敬请原谅和不同意见，敬请原谅本讲稿第十四页，共十四页