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1、利用期望与方差的性质求期望或方差2022/9/24第1页，此课件共15页哦2E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X Y)=E(X)E(Y).数学期望的性质数学期望的性质E(aX)=a E(X)E(C)=C 当当X,Y 相互独立时相互独立时，第2页，此课件共15页哦3性质性质 4 的逆命题不成立，的逆命题不成立，即即若若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定不一定相互独立相互独立.反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注注第3页，此课件共15页哦4X Y P-1 0 1但但第4页，此课件共15页哦5若若X 0，且，且EX 存在，则存在，则EX 0。推论推论:若若 X
2、Y，则，则 EX EY。证明：设证明：设 X 为连续型，密度函数为为连续型，密度函数为f(x),则则由由X 0 得：得：所以所以证明证明：由已知：由已知 Y-X0，则，则 E(Y-X)0。而而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，所以，E(X)E(Y)。第5页，此课件共15页哦6性质性质2 2和和3 3性质性质4 4例例1.1.设设 XN(10,4)，YU1,5，且，且X与与Y相互独立，求相互独立，求 E(3X2XYY5)。解：解：由已知，由已知，有有 E(X)10,E(Y)3.第6页，此课件共15页哦7例例2.(.(二项分布二项分布 B(n,p)设单次实验成功的概率是设单次实验成功的概率是
3、 p，问，问n次独立重复试验中，期望几次成功？次独立重复试验中，期望几次成功？解解:引入引入则则 X X1+X2+Xn 是是n次试验中的成功次数。次试验中的成功次数。因此因此，这里，这里，XB(n,p)。第7页，此课件共15页哦8例例3.将将4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入4个盒子中个盒子中,每盒容纳的球数无限每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望求空着的盒子数的数学期望.解一解一:设设 X 为空着的盒子数为空着的盒子数,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 3第8页，此课件共15页哦9解二解二:再引入再引入 X i ,i=1,2,3,4.Xi P 1 0第
4、9页，此课件共15页哦10 若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。的离散程度。若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差第10页，此课件共15页哦11 注意：注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2）当）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。3)方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。第11页，此课件共15页哦12 方差的计算公式方差的计算公式常用的公式：常用的公式：证明证明:第12页，此课件共15页哦13 例例1.已知已知 X 的密度函数的密度函数为为其中其中 A，B 是常数，是常数，且且 E(X)=0.5.(1)求求 A，B.(2)(2)设设 Y=X2,求求 E(Y),D(Y).第13页，此课件共15页哦14 解解:(1)第14页，此课件共15页哦15(2)f(x)=(-6x2+6x)I(0,1)第15页，此课件共15页哦