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1、第一讲第一讲第一讲第一讲 期望方差的定义期望方差的定义期望方差的定义期望方差的定义本讲稿第一页，共十四页一一 离散型离散型随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差例例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命命中环数是随机变量，分布表如下：中环数是随机变量，分布表如下：问问:如何评价甲和乙的技术如何评价甲和乙的技术?X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050Y10987650P0.1 0.1 0.1 0.10.20.20.2 下面从下面从(一一)平均命中环数平均命中环数和和(二二)从命中环数的集从命中环数的集中或离
2、散程度中或离散程度角度进行分析角度进行分析本讲稿第二页，共十四页一一 分析分析平均命中环数平均命中环数 给甲给甲100发子弹则甲发子弹则甲命中总环数命中总环数大约为大约为:X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050平均每发命中环数估计为平均每发命中环数估计为:记为记为EX称为随机变量称为随机变量X的数学期望的数学期望Y10987650P0.1 0.1 0.1 0.10.20.20.2EY=5.6=8.85=8.85本讲稿第三页，共十四页评价：评价：因为因为 EX=8.85,EY=5.6从平均命中环数看，甲的水平高于乙从平均命中环数看，甲的水平高于乙 这种反映随机变
3、量取值平均的值恰好为这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变量随机变量的一切可能的一切可能取值取值与相应与相应概率乘积概率乘积的的和和本讲稿第四页，共十四页二二 从命中环数的集中或离散程度从命中环数的集中或离散程度角度考虑角度考虑图图(1)图图(2)请看下列散点图请看下列散点图图图(1)比较集中比较集中,图图(2)比较分散比较分散本讲稿第五页，共十四页偏离值 偏离值的平方概率P 请看下表：请看下表：偏差平方的平均值为偏差平方的平均值为:X10987650P0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.050EX=8.8510-8.850.59-8.850.28-8.850.17-8.850.
4、16-8.850.055-8.850.050-8.850=2.23DX=同理同理DY=10.24从偏差平方的平均值偏差平方的平均值看：甲优于乙本讲稿第六页，共十四页设随机变量X概率分布表为.pk.p2p1P.xk.x2x1XX数学期望(或均值)定义为:二二 离散型离散型随机变量的数学期望和方差定义随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98EX=+.+.X方差定义为:DX=+.+.偏差的平方的平均值本讲稿第七页，共十四页例例1 设设x概率分布表为概率分布表为X012P0.20.40.4求求 E(x)D(x)解解本讲稿第八页，共十四页例例2 设设x概率分布表为概率分布表为X01Pqp解解求求 E
5、(x)D(x)(p+q=1)本讲稿第九页，共十四页例例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00,9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为 到站时刻8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率 1/6 3/6 2/6旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解解 X-候车时间X P 1030507090本讲稿第十页，共十四页解：例例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。X的分布律为：XP012XP012即即本讲稿第十一页，共十四页解
6、例例5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？X-一周5天内机器发生故障天数，Y-一周内所获利润同理同理本讲稿第十二页，共十四页设连续型随机变量X概率密度函数为三三 连续型随机变量的期望和方差定义连续型随机变量的期望和方差定义 P89 P98X的的数学期望(或均值)定义为:x(x)X的的方差定义为:(x-EX)2(x)本讲稿第十三页，共十四页例例5 随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 E(X)D(X)110 xy解解本讲稿第十四页，共十四页