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1、则复合函数 z=f(u(x),v(x)在点 x 处可导.且(公式也称为 链式法则)证:设 u=u(x),v=v(x)在点 x 处可导.而 z=f(u,v)在 x 对应的点(u,v)可微.只要证定理定理1 1第1页/共68页又因 z 是 u,v 的函数,进而得到z.因 z=f(u,v)在(u,v)可微.给 x 以改变量x,因u,v 是x的函数,可得u,v 的改变量u,v.第2页/共68页同除以 x 0,得令 x 0,得第3页/共68页从而=0故注意到当 x 0时,u,v 趋于0.无穷小乘有界量第4页/共68页用同样的方法,可将该公式推广到中间变量为3个,4个,等情形.比如,设 z=f(u,v,w
2、),u=u(x),v=v(x),w=w(x),满足定理条件.则第5页/共68页例1.设 z=tg(u+v),u=x2,v=lnx,解:(1)z=tg(x2+lnx)(2)z=sec2(x2+lnx)第6页/共68页若u,v是 x,y 的二元函数,u=u(x,y),v=v(x,y),此时z=f(u,v)=f(u(x,y),v(x,y)是x,y的二元函数.如何求 z 对x,y 的偏导数?第7页/共68页第8页/共68页由上述公式.有1,若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)满足定理条件.则复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y)的偏导数为(只须将定理1中导数符号改为偏导符号)
3、第9页/共68页2,公式 1可推广到中间变量多于2个的情形.如,设 z=f(u,v,w),u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),则3 若在 2中,u=u(x,y,t),v=v(x,y,t),w=w(x,y,t).问 第10页/共68页例2.解:(1)可将u,v代入后直接求偏导.(2)用链式法则(两个中间变量)第11页/共68页故第12页/共68页例3.解:此例与上两例有区别.这里函数 f 的表达式未给出,只能用链式法则求偏导.引进中间变量(引进几个中间变量?)记 u=x2 y2,v=xy.从而 z=f(u,v),由链式法则,得第13页/共68页z=f(u,v),u=x2 y2,
4、v=xy.第14页/共68页记等等.引进记号,设 z=f(u,v),第15页/共68页例4.解:引进3个中间变量.记 u=x,v=xy,w=x+y.则 z=f(u,v,w).有第16页/共68页1.在这一类问题中为何引进中间变量?注第17页/共68页从而这是否对?为什么?第18页/共68页对 u(也就是 x)求偏导.两者不同.第19页/共68页例.设 z=f(x,xy)=x+xy,记 u=x,v=xy,有 z=u+v.第20页/共68页3.若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则 z 通过 u,v 成为 x,y 的二元复合函数.从而是 x,y 的二元复合函数.第21页/共6
5、8页例5.证:第22页/共68页从而=x第23页/共68页例6.若f(x,y,z)恒满足关系式 f(tx,ty,tz)=tk f(x,y,z).则称它为 k 次 齐次函数.证明 k 次齐次函数满足证:等式 f(tx,ty,tz)=tk f(x,y,z).两边对 t 求偏导.右边对 t 求偏导第24页/共68页即记 u=tx,v=ty,w=tz,则 f(tx,ty,tz)=f(u,v,w).第25页/共68页即同乘以 t,得第26页/共68页例7.设 z=f(u,v),f C1,而 u=xcosy,v=x siny.解:这是关于链式公式的逆问题.链式公式第27页/共68页代入链式公式,得,第28
6、页/共68页系数行列式=x 0从而第29页/共68页为未知量的二元一次方程组.常可通过解线性方程组的方法求1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以注第30页/共68页2.对本例而言,若还要求出 z 的函数表达式,如何求?3.设 z=f(x,y),则在区域 D 内 z=C(常数).(自证)第31页/共68页4.若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),x=x(r,),y=y(r,).易见z 是 r,的复合函数.因此又因u,v 都是 r,的复合函数.第32页/共68页因此第33页/共68页设 z=f(u,v)可微,当 u,v 为自变量时,有若 u,v 不是自变量,而是中间变量,是
7、否仍有这一形式?设 u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则z=f(u(x,y),v(x,y),二、全微分的形式不变性第34页/共68页由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y)第35页/共68页即,不论u,v是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变.第36页/共68页例8.用全微分形式不变性求解:记 u=xy,从而 z=f(u,v).第37页/共68页从而第38页/共68页16隐函数的导数第39页/共68页上期已讨论了求隐函数的导数问题.即,设方程 F(x,y)=0.求由该方程所确定的函数 y=f(x)的导数.方法是:方程两边对 x 求导.注意 y 是 x 的函
8、数,然后解出 y.第40页/共68页(1)是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都确定了y 是 x 的函数(单值)?如 x2+y2=1.什么条件下确定 y=f(x)?(2)若方程确定y=f(x).它是否可导?给出一般的求导公式.(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎样?留下了问题.第41页/共68页设函数F(x,y)在点 X0=(x0,y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.考虑方程F(x,y)=0.且F(x0,y0)=0,则方程 F(x,y)=0在点 X0=(x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y=f(x),它满足 y0=f(x0).且证略一、一个方程的
9、情形(隐函数存在定理).定理1第42页/共68页对公式的推导作些说明.设方程 F(x,y)=0中F(x,y)满足定理条件.从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y=f(x).代入方程,得 F(x,f(x)0.上式两边对 x 求导(左端是 x 的复合函数).得第43页/共68页例1.验证方程 x2+y2 1=0在点 X0=(0,1)的某邻域内满足定理1的三个条件.从而在X0=(0,1)的某邻域内唯一确定满足.当x=0时,y=1的连续可导函数 y=f(x),解:记 F(x,y)=x2+y2 1(1)(2)F(0,1)=0,(3)第44页/共68页由定理1知,方程在X0=(0,1)的某邻域内唯一确定
10、满足当x=0时,y=1的连续可导函数 y=f(x),0 xyX0 x2+y2=111X1第45页/共68页法1.x2+y2=1两边对 x 求导,y 是 x 的函数,2x+2y y=0第46页/共68页法2.F(x,y)=x2+y2 1第47页/共68页定理1可推广到方程中有多个变量的情形.考虑方程 F(x,y,z)=0设三元函数 F(x,y,z)在 X0=(x0,y0,z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0,则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z=f(x,y),满足 z0=f(x0,y0),且定理1第48页/共68页例2.解
11、：方法1.记 F(x,y,z)=sin(x3z)2y z有 Fx=cos(x 3z),故Fy=2,Fz=3cos(x 3z)1第49页/共68页方法2：sin(x3z)=2y+z两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数.解得:类似得第50页/共68页例3.设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,FC1,求解：方法1.(公式法):方程左边是x,y,z的复合函数，用链式法则求Fx,Fy,Fz.Fx=F 12x+F 2 cosxy y=2xF 1+ycosxy F 2从而Fy=F 12y+F 2 cosxy x=2yF 1+xcosxy F 2Fz=F 12z+F 2 0=2zF 1
12、第51页/共68页方法2.方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对 x 求偏导.其中 z 是 x 的函数,y看作常量.F 1(2x+2z zx)+F2 cosxy y=0解得:第52页/共68页例4.设 z=z(x,y)是由方程 x+y+z=(x2+y2+z2)所确定的函数,其中 C1，证明 z=z(x,y)满足证：记 F(x,y,z)=x+y+z(x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有 F x=1 u 2x=1 2x uF y=12y u,F z=12z u第53页/共68页故从而第54页/共68页设有方程组F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0四个未知量，两个方程
13、 若将 x,y 看作常数,则方程组成为两个未知量,两个方程情形.如果能从中解出u,v,从而这个方程组确定了 两个二元函数 u=u(x,y),v=v(x,y)，称为由该方程组所确定的二元隐函数.二、方组的情形第55页/共68页(1)当F,G满足什么条件时，方程组确定了隐函数 u,v?(2)为何求隐函数u=u(x,y),v=v(x,y)的偏导？问题第56页/共68页记号：用即uuvv称为函数F,G关于 u,v的雅可比行列式.第57页/共68页方程组G(x,y,u,v)=0F(x,y,u,v)=0(1)设X0=(x0,y0,u0,v0)R4,若1)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在U(X0
14、)有连续偏导2)F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)=03)雅可比行列式则方程组(1)唯一确定两个二元函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，满足 u0=u(x0,y0)，v0=v(x0,y0).且定理2第58页/共68页证：(略)第59页/共68页公 式 推 导 说 明：设F,G满足定理2条件，从而存在隐函数u=u(x,y),v=v(x,y),代入方程组(1)F(x,y,u(x,y),v(x,y)0G(x,y,u(x,y),v(x,y)0第60页/共68页方程两边对 x 求编导，得F x+F u +F v =0G x+G u +G v =0看作未知量，解二元线性方程组.由克莱姆法则.F(x,y,u(x,y),v(x,y)0G(x,y,u(x,y),v(x,y)0第61页/共68页F x+F u +F v =0G x+G u +G v =0当有第62页/共68页有同理可得第63页/共68页F(x,y,u(x,y),v(x,y)0,G(x,y,u(x,y),v(x,y)0,两边对 y 求偏导，得再解出第64页/共68页例5.解：注意u,v 都是 x 的函数，y 看作常数.方程两边对 x 求偏导，得第65页/共68页即(1)(2)由于系数行列式该方程组有唯一解.解得第66页/共68页第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页