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1、第一章 多元(du yun)函数微分学第三节 多元函数(hnsh)的导数正确理解多元函数的全增量、偏增量的概念。正确理解偏导数的概念。了解(lioji)偏导数的几何意义。熟练掌握偏导数的计算方法。会利用定义计算偏导数。知道二元函数的微分中值定理。本节教学要求：本节教学要求：第1页/共43页第一页，共44页。繁啦！烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的 推广，其计算往往是借用一元函数的计算 公式和方法，但实际计算通常较繁。 在推广中有一些东西将起质的变化。 我们通常介绍二、三元函数的情形，所得 结果可以(ky)推广到更高元的函数中，一般不 会遇到原则性问题。第2页/共43页第二页，共44页。一.
2、偏增量(zn lin)和全增量(zn lin)二. 多元(du yun)函数的偏增量和全增量三. 多元(du yun)函数的偏导数请点击第三节第三节 多元函数的导数多元函数的导数四. 偏导数的几何意义第3页/共43页第三页，共44页。偏增量 或一一. 偏增量偏增量(zn lin)和全增量和全增量(zn lin)第4页/共43页第四页，共44页。偏增量 或第5页/共43页第五页，共44页。全增量 或表示(biosh)为第6页/共43页第六页，共44页。偏增量(zn lin)和全增量(zn lin)的几何解释第7页/共43页第七页，共44页。例如(lr):同学们不难将以上增量形式推广至空间) 3(
3、 nRn中.第8页/共43页第八页，共44页。 函数(hnsh)的增量 的全增量(zn lin)和偏增量(zn lin)的改变量称为函数的全增量(zn lin)和偏增量(zn lin) .函数相应于自变量),(yxfz yx 和二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量第9页/共43页第九页，共44页。 : 2中中空间空间 R函数),(yxfz 在点),(00yx处的偏增量为:及 二元函数二元函数(hnsh)的偏增量的偏增量第10页/共43页第十页，共44页。yz沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量zx二元函数偏增量的几何(j h)解释第11页/共43页第十一页，共4
4、4页。 : 2中中空间空间 R或函数),(yxfz 在点),(00yx处的全增量为:二元函数二元函数(hnsh)的全增量的全增量第12页/共43页第十二页，共44页。 : 2中中空间空间 R函数),(yxfz 在点),(000yxX处的全增量为:函数),(yxfz 在点),(000yxX处的偏增量为:函数函数(hnsh)增量的点增量的点函数函数(hnsh)表示表示第13页/共43页第十三页，共44页。对于)3( nRn中的函数可仿此进行增量(zn lin)的定义其中(qzhng)第14页/共43页第十四页，共44页。全增量(zn lin) 例第15页/共43页第十五页，共44页。 函数(hns
5、h)的连续性能否用函数(hnsh)的全增量描述？想想(xin xin)：能 怎么(zn me)描述？第16页/共43页第十六页，共44页。三三. .多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)的偏的偏导数导数第17页/共43页第十七页，共44页。第18页/共43页第十八页，共44页。变量(binling) x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数),(yxf在点),(00yx处关于),(yxf在点),(00yx处可偏导.在区域 内的任一点若函数),(yxf内可偏导.处均可偏导 , 则称函数),(yxf在区域 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函数在区域
6、上的偏导数.第19页/共43页第十九页，共44页。下面讨论偏导数的计算方法第20页/共43页第二十页，共44页。xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出: 定义xz时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数(do sh)的定义进行的：实质(shzh)上是哇！爽！第21页/共43页第二十一页，共44页。求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质上是求忘记(wngj)了, 请赶快复习一下.如果(rgu)一元函数的求导方法和公式第22页/共43页第二十二页，共44页。多元(du yun)函数的偏导数的计算方法,没有(mi
7、 yu)任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .第23页/共43页第二十三页，共44页。例 例解第24页/共43页第二十四页，共44页。由定义,此例也可用下列(xili)方式求解000d),(d0),(xxyxxyxfxz第25页/共43页第二十五页，共44页。例将 y 看成(kn chn)常数将 x 看成(kn chn)常数 例解第26页/共43页第二十六页，共44页。例 1yxyxz )( 1aaxax ln xxyzy ln)( aaaxx将 y 看成(kn chn)常数时, 是对幂
8、函数求导.将 x 看成常数(chngsh)时, 是对指数函数求导. 例解第27页/共43页第二十七页，共44页。以上(yshng)的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元(du yun)函数中去.进行(jnxng)的, 但其结论可直接推广到三第28页/共43页第二十八页，共44页。例 例解第29页/共43页第二十九页，共44页。例由 k 的任意性及极限(jxin)的唯一性可知该极限(jxin)不存在, 例解),( yxf讨论函数讨论函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx第30页/共43页第三十页，共44页。但是(dnsh)第31页/共43页第三十一页，共44页。该例说明了一个(y )重
9、要问题：第32页/共43页第三十二页，共44页。对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.第33页/共43页第三十三页，共44页。例在热力学中, 已知压强 P 、体积 V 和温度 T 之间满足关系 PV = k T ,其中, k为常数, 证明：. 1PTTVVP从而(cng r) 例证第34页/共43页第三十四页，共44页。 警告(jnggo)各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx ,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是第35页/共43页第三十五页，共44页。xyzO. tan ),( 00 0 xyxfyy上上在平面在
10、平面四四. .偏导数的几何意义偏导数的几何意义(yy)(yy)第36页/共43页第三十六页，共44页。第37页/共43页第三十七页，共44页。 二元函数的偏导数存在(cnzi) , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在(cnzi)不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明(shumng)了一个问题:第38页/共43页第三十八页，共44页。五五. .二元函数二元函数(hnsh)(hnsh)的微分中的微分中值定理值定理定理第39页/共43页第三十九页，共44页。自己(zj)画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理(dn
11、gl), 得证第40页/共43页第四十页，共44页。且有第41页/共43页第四十一页，共44页。 定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中.由中值定理, 可将函数的全增量表示为 )(,()(,(022011yyfxxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz第42页/共43页第四十二页，共44页。感谢您的观看(gunkn)！第43页/共43页第四十三页，共44页。NoImage内容(nirng)总结第一章 多元函数微分学。推广，其计算往往是借用一元函数的计算。一. 偏增量和全增量。二. 多元函数的偏增量和全增量。二. 多元函数的偏增量和全增量。偏增量和全增量的几何解释。全增量和偏增量 .。函数导数的定义进行的：。多元函数的偏导数的计算方法,。中的某一个看成变量,其余的 n1个。对多元函数来说,函数的偏导数。定理以及(yj)该结论可以推广到三元和三元以上的函数中.。第42页/共43页。感谢您的观看。第43页/共43页第四十四页，共44页。