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1、问题的提出一元函数的泰勒公式：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.问题：问题：第1页/共18页一、二元函数的微分中值定理定理1 1 (二元函数的拉格朗日中值公式)或写成记 则上式又可写成为第2页/共18页证 考虑点由定理假定可知，在区域D内可微，记由连锁法则，则由一元函数的拉格朗日中值定理，有（0,1)，使得即证毕.P0D第3页/共18页推论 证 在区域D内任意取定一点P0,对 D内任意点P,若连线P0 P0 P都在D内，则由拉格朗日中值定理，有P0P1P2PnP0.于是若连线P0 P不在D内，则必存在折线P0 P1 P2 PnP D于是，由上面的讨
2、论，我们有由于P为D内任意点,命题证毕.第4页/共18页记号二、二元函数的泰勒公式一般地,在一点 的 阶微分 为:第5页/共18页定理2其中-拉格朗日余项 称为 f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,第6页/共18页证:则 利用多元复合函数求导法则可得:令证明的思路是归结到一元函数的泰勒展开式.第7页/共18页一般地,由 的麦克劳林公式,再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕 其中第8页/共18页则定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项可用偏导数来估计.令所以第9页/共18页我们得到二元函数的带皮亚诺型余项的泰勒公式由高阶微分的定义,不难看出其系数为 f 在点(x0,
3、y0)的偏导数.这个多项式称为泰勒多项式.第10页/共18页第11页/共18页例1 求函数 在点(1,1)的二阶泰勒多项式及带匹亚诺余项的泰勒公式.解 先求各阶导数第12页/共18页因此,若令也即第13页/共18页例2.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,第14页/共18页其中第15页/共18页多元函数的泰勒多项式的唯一性定理因此,求一个函数的泰勒展开式,可以用其它途径,而不一定非计算各阶导数.第16页/共18页例3 在点(0,0)的邻域内,将函数 按匹亚诺余项的泰勒公式展开至二次项.解 由常用的一元函数的泰勒展开式,知由于当由泰勒多项式的唯一性,我们得到作业:习题6.72(1),(3)第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页