gs多元函数的偏导数.pptx

《gs多元函数的偏导数.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《gs多元函数的偏导数.pptx（65页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、在二元函数 z=f(x,y)中,有两个自变量 x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让 x 变化.则 z 成为一元函数 z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义一、偏导数的定义第1页/共65页设 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)的某邻域 U(X0)内有定义.固定 y=y0,在 x0 给 x 以增量 x.相应函数增量记作称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.定义第2页/共65页则称这个极限值为 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数.即此时也称 f(x,y)在(x0,y0)处对x 的偏导数存在.否

2、则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.第3页/共65页类似,若固定 x=x0,而让 y 变,z=f(x0,y)成为 y 的一元函数.则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对 y 的偏导数.即第4页/共65页若 z=f(x,y)在区域 D 内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,即(x,y)D,存在.此时,它是 x,y的二元函数.称为 z 对 x 的偏导函数.简称偏导数.类似定义 z 对 y 的偏导函数.第5页/共65页1.由偏导数定义知,所谓 f(x,y)对x 的偏导数,就是将 y 看作常数,将 f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求 f x(x,y)时

3、,只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.求 f y(x,y)时,只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.第6页/共65页2.f x(x0,y0)就是 f x(x,y)在点(x0,y0)的值.算 f x(x0,y0)可用3种方法.f y(x0,y0)f y(x,y)f y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算 f x(x,y),再算 f x(x0,y0)f y(x,y),f y(x0,y0).(3)先算 f(x,y0),再算 f x(x,y0)再算 f x(x0,y0)f(x0,y),f y(x0,y),f y(x0,y0).第7页/共65页例1.解:或 f(x,2)=x2+

4、6x+4,f x(x,2)=2x+6,故 f x(1,2)=2+6=8.第8页/共65页例2.解:第9页/共65页例3.解:偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如,设 u=f(x,y,z).它的求法,就是将 y,z 均看作常数来求即可.第10页/共65页例4.解:第11页/共65页由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏导数的几何意义.设 z=f(x,y)在点 X0=(x0,y0)处的偏导存在,记 z0=f(x0,y0).点M0(x0,y0,z0)则二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义第12页/共65页f x(x0,y0)就是以平面 y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得到截线 1.1

5、上点 M0(x0,y0,z0)处切线对 x 轴的斜率.而 f y(x0,y0)就是以就是以平面 x=x0与曲面 z=f(x,y)相截,得到截线 2.2 上点 M0(x0,y0,z0)处切线对 y 轴的斜率.第13页/共65页故只须搞清一元函数 f(x,y0)的几何意义.就可得到 f x(x0,y0)的几何意义.以平面 y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得截线1:z=f(x,y)y=y0也就是 z=f(x,y0).且 M0(x0,y0,z0)在 1 上.第14页/共65页即 z=f(x,y0)表示平面 y=y0与曲面 z=f(x,y)的交线1.z=f(x,y0)上点M0处的切线对 x的斜率.如

6、图第15页/共65页yxzoz=f(x,y)X0M0即 f x(x0,y0)表示 y=y0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0第16页/共65页yxzoz=f(x,y)M0X022:z=f(x0,y)类似得 f y(x0,y0)的几何意义.如图即 f y(x0,y0)表示 x=x0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.x0T2第17页/共65页在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.即,对多元函数 f(X)而言,即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证 f(X)在 X0 连续.三、偏导与连续的关

7、系三、偏导与连续的关系第18页/共65页例5.设证明z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.证:前边已证 z=f(x,y)在(0,0)的极限不存在,因此它在(0,0)不连续.第19页/共65页=0=0故 z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.下证 z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在.第20页/共65页从几何上看,f x(x0,y0)存在.只保证了一元函数 f(x,y0)在 x0 连续.也即 y=y0 与 z=f(x,y)的截线 1 在 M0=(x0,y0,z0)是连续的.同理,f y(x0,y0)存在.只保证了x=x0 与

8、 z=f(x,y)的截线 2 在 M0连续.但都不能保证曲面 z=f(x,y)在 M0连续.第21页/共65页换句话说,当 X 从任何方向,沿任何曲线趋于X0时,f(X)的极限都是 f(X0).显然,上边两个条件都不能保证它成立.第22页/共65页例.易知,f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.但它在(0,0)不连续.如图yxzo第23页/共65页114 4多元函数的微分多元函数的微分第24页/共65页一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足(1)好算.(2)有起码的精度.在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数 z=f(X)=f(x,y)的改

9、变量 f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).一、全微分的概念一、全微分的概念第25页/共65页类似一元函数的微分概念,引进记号和定义.记 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).=f(X+X)f(X0).其中 X0 =(x0,y0).X=(x,y)称为 z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的全增量.第26页/共65页设 z=f(X)=f(x,y)在U(x0)内有定义.若 z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)能表成z=ax+by+0(|X|)其中a,b是只与x0,y0有关,而与x,y无关的常数.定义第27页/共65页称

10、ax+by 为 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分.则称 z=f(x,y)在点(x0,y0)可微.第28页/共65页1.按定义,z=f(x,y)在点(x0,y0)可微 注第29页/共65页2.若 z 在点 X0=(x0,y0)可微 即 z(ax+by)=0(|X|)第30页/共65页3.若 z=f(x,y)在区域 D 内处处可微.则称 z=f(x,y)在 D 内可微.z 在(x,y)D 处的全微分记作 dz.即 dz=a(x,y)x+b(x,y)y它实际上是一个以 x,y,x,y为自变量的四元函数.第31页/共65页对照一元函数的微分,z=f(x),若z=ax+0(x)则dz=ax=

11、f (x)x.自然会提出以下问题.(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式 dz=ax+by中系数 a,b 如何求,是否与z的偏导有关?(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中,可微连续,对二元函数是否也对?第32页/共65页设 z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,要证 z 在(x0,y0)连续.则 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)令x 0,y 0,由最后一式知,z 0.第33页/共65页结论结论:对二元函数对二元函数 z=f(x,y),z 在在(x0,y0)可微可微(不是存在两个偏不是存在两个偏导导)

12、z 在在(x0,y0)连续连续.第34页/共65页若 z=f(x,y)在点 X=(x,y)处可微,则 z=f(x,y)在点(x,y)处两个偏导证证:因 z 在(x,y)处可微,由定义,z 的全增量.此式对任何充分小的x,y 都成立.且 z 在(x,y)处的全微分为定理1第35页/共65页特别,当 y=0时,有同除以 x(0),并令x 0.得=a第36页/共65页定理1回答了问题1,并指出二元函数z=f(x,y)可微 存在两个偏导,第37页/共65页反之不对.右端式子也可写出.可能不是全微分.从而 z 不能写成定义中的形式,故不可微.第38页/共65页例1.证明 z 在(0,0)处的两个偏导存在

13、,但 z 在(0,0)不可微.证:由偏导定义=0=0第39页/共65页而故 z 在(0,0)不可微.第40页/共65页若 z=f(X)=f(x,y)的两个偏导数f x(x,y),f y(x,y)在X0=(x0,y0)的某邻域 U(x0)内存在,且它们都在 X0=(x0,y0)连续,则 z=f(x,y)在(x0,y0)可微.定理2第41页/共65页因 f x(x,y),f y(x,y)在U(x0)内存在.证:由偏导数的定义,以及一元函数可导与连续的关系知.对于固定的 y,以x为自变量的一元函数 z=f(x,y)在该邻域所对应的 x 的区间上连续,可导.第42页/共65页从而它们都满足拉格朗日中值

14、定理条件(在相应区间上).以 y为自变量的一元函数 z=f(x,y)在该邻域所对应的 y 的区间上连续,可导.对于固定的 x,第43页/共65页z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)+f(x0,y0+y)f(x0,y0)在上式第一括号中,将 y0+y 固定.则它是以 x 为自变量的一元函数 f(x,y0+y)在x0,x0+x上的改变量.因 f(x,y0+y)在 x0,x0+x上满足拉格朗日中值定理条件,从而,取 (x0+x,y0+y)U(X0)第44页/共65页 f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)=f x(x0+1x,y0+y x,

15、其中 011 同理 f(x0,y0+y)f(x0,y0)=f y(x0,y0+2y y,021 故 z=f x(x0+1x,y0+y x+f x(x0,y0+2y y 因 f x(x,y),f y(x,y)都在(x0,y0)连续.第45页/共65页由极限与无穷小量的关系,其中 1 0,(x 0,y 0时)有f x(x0+1x,y0+y)=f x(x0,y0)+1 第46页/共65页有,f y(x0,y0+2y)=f y(x0,y0)+2 其中 2 0,(x 0,y 0时)因此,z=f x(x0,y0)x+f y(x0,y0)y+(1x+2y)由于 z=f x(x0+1x,y0+y x+f x(

16、x0,y0+2y y f x(x0+1x,y0+y)=f x(x0,y0)+1 第47页/共65页易见|1|+|2|0,(x 0,y 0时)由全微分的定义知,z=f(x,y)在(x0,y0)可微.即第48页/共65页在点 X 处雅可比向量(矩阵).也记作(z).2.若 z=f(X)在区域 D 内有一阶连续偏导.则记 f(X)C1(D)3.和一元函数微分一样,自变量 x,y 的微分就等于它们的改变量,即 dx=x,dy=y.且记 dX=(dx,dy)第49页/共65页最后一式表数量积.4.全微分的概念可推广到三元以上的函数中去.且,若 u=f(x,y,z)可微,则因此,全微分公式可写为第50页/

17、共65页例2.求 z=x2 cos xy 的全微分.解:故 dz=(2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy第51页/共65页例3.求 z=exy 在点(2,1)处的全微分.解:故 dz=yexydx+xexydy第52页/共65页例4.求 u=xyz 的全微分.解:故 du=yzxyz1 dx+zxyz lnxdy+yxyz lnxdy=xyz1(yzdx+xzlnxdy+xylnxdy)第53页/共65页设多元函数 f(X),g(X)在点 X 可微,则(1)d(f(X)g(X)=df(X)dg(X)(2)d(kf(X)=kd f(X),k为常数.(3)d(f(X)g(X)

18、=g(X)d f(X)+f(X)dg(X)(4)其中,g(X)0.定理3第54页/共65页设 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)的某邻域 U(X0)内存在偏导数 f x 和 f y,则对任意的X=(x,y)U(X0),至少存在两点 X1=(1,1),X2=(2,2)U(X0),使得证:回忆一元函数拉格朗日中值定理.二、微分中值定理二、微分中值定理定理4第55页/共65页由于f x 和 f y 在U(X0)内存在.而对于固定的 y,f(x,y)是以 x 为自变量的一元函数,在对应的 x 的区间上连续,可导.满足拉格朗日中值定理条件.有同理,其中,1介于x0,x 之间,2 介于 y

19、0,y 之间.第56页/共65页(x0,y)X=(x,y)X2X0=(x0,y0)U(X0)X1记 1=y,2=x0,有第57页/共65页一般,若n元函数 z=f(X)在点X0 的某邻域 U(X0)内存在对各变量的偏导,则对任意的X=(x1,x2,xn)U(X0),存在 n 个点 第58页/共65页设 z=f(X)=f(x,y)在闭区域DR2上连续,在开区域 D 内存在连续偏导数 f x 和 f y.若点 X0=(x0,y0),X1=(x1,y1)D,直线段X1X2X0D如图使得定理5第59页/共65页证:如图.它与曲面 z=f(x,y)有蛟线.是平面上的曲线,对应的函数将满足拉格朗日中值定理

20、条件,进而可证得结果.xzyX1X0o第60页/共65页平面(柱面)的方程:x=x0+tx,y=y0+ty.的方程:x=x0+txz=f(x,y)y=y0+ty即.z=f(x0+tx,y0+ty)是t的一元函数.0 t 1.第61页/共65页记 F(t)=f(x0+tx,y0+ty),由条件 f(x,y)在D内有连续偏导,可得F(t)在0 t 1 内可导.从而满足拉格朗日中值定理条件.又F(1)=f(x0+x,y0+y)=f(x1,y1),F(0)=f(x0,y0),故由条件f(x,y)在闭区域D上连续,知F(t)在0 t 1上连续,f(x1,y1)f(x0,y0)=F(1)F(0)=F().

21、0 1.第62页/共65页又因 F(t)=f(x0+tx,y0+ty),从而 F(t)=f x(x0+tx,y0+ty)x+f y(x0+tx,y0+ty)y故 f(X1)f(X2)=f(x1,y1)f(x0,y0)=F()=f x(x0+x,y0+y)x+f y(x0+x,y0+y)y=f x(X2)(x1 x0)+f y(X2)(y1 y0)其中 0 1,x2=(x0+x,y0+y)第63页/共65页利用定理5,易证,若D是开区域,z=f(x,y)在D内恒有 f x=f y=0.则 f(x,y)=常数.只须注意D是连通的,并逐次利用定理5即可.第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页