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1、(一)离散型把(，)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(，)的联合概率分布表。nx1x2xi定义3 如果二元随机变量(，)所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称(，)为二元离散型随机变量。第1页/共31页也可用一系列等式来表示P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,)称为与的联合分布律。联合分布有如下性质：(1)pij0例1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。证“k=0”表示第k次取到正品，而“k=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(1,2)的联合分布律。第2页/共31页解：试验结果由4个基本事件组
2、成。P(1=0,2=0)=P(1=0)P(2=0|1=0)=0.1P(1=0,2=1)=0.3P(1=1,2=0)=0.3P(1=1,2=1)=0.3列成联合概率分布表：2101010.10.30.30.3第3页/共31页二元随机变量(，)中，分量(或)的概率分布称为(，)的关于(或)的边缘分布。若已知联合分布，则P(=xi)记作pi(1)i=1,2,P(=yj)记作pj(2)j=1,2,pi(1)表示联合概率表中第i行各概率之和。它表示，不论取何值，取值xi的概率pj(2)的含义类似。第4页/共31页例2 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。i表示第i个邮筒内信的数目
3、(i=1,2)写出(1，2)的联合分布以及1，2的边缘分布。解：试验共有42种不同的等可能结果。p12=p21=p22=0第5页/共31页列成联合分布表：12012即边缘分布为第6页/共31页对于二元随机变量(，)，若P(=yj)0，称pij/pj(2)(i=1,2,)为在=yj条件下关于的条件分布。显然P(=xi|=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1同样，若pi(1)0称为在xi条件下关于的条件分布。p(=yj|=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1记为第7页/共31页例3 求出例2中在21条件下关于1的条件分布。解：120120故21时，1的条件分布为第8页/共31页例4 反复掷
4、一颗骰子，直到出现小于5点为止。表示最后一次掷出的点数，表示投掷次数。求(，)的联合分布律，边缘分布律及条件分布。解：的取值是1，2，3，4的取值是1，2，“=i,j”表示掷了j次，而最后一次掷出i点。前j-1次掷出5点或6点。由于各次掷骰子是相互独立的。故联合分布表为第9页/共31页pi(1)条件分布为：第10页/共31页第11页/共31页(二)连续型它有性质：对任意平面区域D,第12页/共31页解：P(+1)同样地P()2110 xy2110 xy第13页/共31页分别称为二元随机变量(，)中关于及关于的边缘分布函数。求导可得相应的概率密度：是关于的边缘概率密度。是关于的边缘概率密度。第1
5、4页/共31页解：当axb时在其它点0第15页/共31页解：当0 x1时=0同理可求出第16页/共31页(三)随机变量的相互独立性判断独立的充要条件：pij=pi(1)pj(2)第17页/共31页例8 在例2中1与2是否相互独立？解：已经得到12012故1与2不是相互独立的。第18页/共31页例9 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的点数。与是否独立。可见对所有i,j有pij=pi(1)pj(2)故与是相互独立的。第19页/共31页例10 例6中的随机变量与是否相互独立？可见，对任何x,y有故与相互独立。第20页/共31页故与不独立。例11 例7中的随机变量与是否相互独立？第21页/共31
6、页4 4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布也有多元函数f(1,n)等。(一)离散型随机变量函数的分布定义1 设f(x)是定义在随机变量的一切可能值x集合上的函数。如果对于的每一可能取值x，有另一个随机变量的相应取值y=f(x)。称为的函数，记作=f()。第22页/共31页0.20.40.10.3故的分布表为第23页/共31页解:P(=0)=P(=0)=0.2P(=1)=P(=-1)+P(=1)=0.2+0.1=0.3P(=4)=P(=-2)+P(=2)=0.1+0.4=0.5故的分布为第24页/共31页的概率分布表为第25页/共31页解：P(+=1)=P(=0,=1)+P(=1,=0)=0.4而P(=1)=P(=1,=1)=0.2第26页/共31页解：-的取值可以为1，2，3，4P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3)=P(=4)P(=2)+P(=5)P(=3)=0.38类似可算出其它概率。-的概率分布表为第27页/共31页(二)连续型随机变量函数的分布P(4-1x)两边求导第28页/共31页解：当x0时=0两边对x求导。第29页/共31页010 x1时第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页