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1、函数的单调性与曲线的凹凸性第1页，本讲稿共59页一、单调性的判别法一、单调性的判别法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页，本讲稿共59页定理定理1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页，本讲稿共59页证证应用拉格朗日中值定理，得应用拉格朗日中值定理，得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页，本讲稿共59页例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判
2、别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页，本讲稿共59页说明：说明：1.1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。件，而不是必要条件。2.2.区间内个别点导数为零或导数不存在区间内个别点导数为零或导数不存在,不影响区间的不影响区间的单调性单调性.只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。从而使
3、函数在各个部分区间上单调。又例又例例如例如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页，本讲稿共59页定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点界点方法方法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页，本讲稿共59页例例2 2解解单调区间为单调区间为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页，本讲稿共59页例例3 3解解单调区间为单调区间
4、为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页，本讲稿共59页例例4 4证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页，本讲稿共59页例例5 5证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页，本讲稿共59页例例6 6证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明第13页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1利用单调性证：利用单调性证：第14页，本讲稿共59页机动机动
5、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明2利用单调性证利用单调性证第15页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明3利用中值定理证利用中值定理证第16页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1利用单调性证利用单调性证列表列表x0_0+0第17页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明2利用中值定理证利用中值定理证由中值定理知由中值定理知，第18页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明3利用泰勒公式
6、证利用泰勒公式证第19页，本讲稿共59页二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页，本讲稿共59页定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第22页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页，本讲稿共59页机动机动
7、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第24页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第25页，本讲稿共59页定理定理2 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第26页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义2，(1)成立。成立。同理可以证明同理可以证明(2)。第29页，本讲稿共59页例例1010解解注意到注
8、意到,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页，本讲稿共59页推论：推论：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页，本讲稿共59页例例1111解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)(2)第32页，本讲稿共59页三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2 2、拐点的求法、拐点的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第33页，本讲稿共59页证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
9、返回 结束结束 第34页，本讲稿共59页例例1212解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第35页，本讲稿共59页注意注意:例例1313解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第36页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数 f(x)的拐点的步骤：的拐点的步骤：注意：注意：例例第37页，本讲稿共59页定理定理5 5证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第38页，本讲稿共59页例例1414解解机动机动 目录目录 上页上页 下页
10、下页 返回返回 结束结束 第39页，本讲稿共59页四、渐近线四、渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第40页，本讲稿共59页例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第41页，本讲稿共59页2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第42页，本讲稿共59页3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动机动
11、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第43页，本讲稿共59页证明：证明：由渐近线的定义，有由渐近线的定义，有要使此时成立，必须要使此时成立，必须机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第44页，本讲稿共59页注意注意:例例1515解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第45页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第46页，本讲稿共59页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第47页，本讲稿共59页五、小结五、小结1.单调性的判别（它是拉格朗日中值定理的重单调性的判别（它是拉格
12、朗日中值定理的重要应用）要应用）.3.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.单调性单调性2.单调区间的求法单调区间的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第48页，本讲稿共59页曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;1 1 凹凸性的判定凹凸性的判定.2 2 拐点的求法拐点的求法.凹凸性及拐点凹凸性及拐点渐近线的求法渐近线的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第49页，本讲稿共59页习题习题(3-4)P151 3(
13、2)(5);4(2)(3)(4);8(2)(4)(6);9(3);11；12;13;作业作业机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第50页，本讲稿共59页思考题思考题1解答解答不能断定不能断定.例例但但机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题1第51页，本讲稿共59页当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第52页，本讲稿共59页思考题思考题2解答解答例例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
14、返回返回 结束结束 思考题思考题2第53页，本讲稿共59页思考题思考题 3 解答解答机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题3第54页，本讲稿共59页思考与练习思考与练习上上则则或或的大小顺序是的大小顺序是()提示提示:利用利用单调增加单调增加,及及B1.设在设在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第55页，本讲稿共59页 ;.2.曲线曲线的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及 ;第五节第五节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第56页，本讲稿共59页1.求证曲线求证曲线 有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.证明：证明：备用题备用题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第57页，本讲稿共59页令令得得从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为所以三个拐点共线所以三个拐点共线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第58页，本讲稿共59页,则则证明证明:当当时，时，有有证明证明:令令是是凸凸函数函数即即 2.2.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (由定义由定义1)1)第59页，本讲稿共59页