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1、球与几何体柱、锥的切接问题 作者：陈丽萍 来源：中外企业家下半月 2015 年第 10 期 陈丽萍 （宁夏育才中学，宁夏 银川 750021）摘 要：通过这几年对高考题研究发现，高考对立体几何及与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一，这部分内容以选择题、填空题为主。关键词：内切；外接；体对角线；构造模型 中图分类号：G633.63 文献标志码：A 文章编号：1000-8772（2015）30-0263-01 收稿日期：2015-09-10 作者简介：陈丽萍（1978-）,女，宁夏银川人，本科。研究方向：数学教育。一、球与柱体的切接 常见的是规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能和球进行
2、充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。1.球与正方体 正方体的内切球，如图 1。位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合。得到数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r=a。正方体的外接球，如图 2。位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；体对角线为球的直径，即(2r)2=3a2，这时有。球与长方体外接：设长方体的三条棱长为 a,b,c.长方体的体对角线为球的直径，即(2r)2=a2+b2+c2。解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16 及高 4
3、可以求出长方体的底面边长为 2，因此，长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径.长方体体对角线长为，故球的表面积为 24，故选 C。点评：本题考查球与长方体“接”的问题，利用长方体的性质，转化成为求其体对角线。2.球与锥体的切接 正四面体的内切球，如图 3。位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合。解析：利用分割成四个小棱锥的和与大棱锥体积相等得出半径和棱长的关系，设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 r，这时有：3.球与四棱锥 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）
4、思路点拨：正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，记为 O，求出 PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积。二、构造熟悉的几何模型解题 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_。解析：因为三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图 1，则 AC=BC=CD=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是 9。(如图 1)三、结语 解决与球的外切，内接问题主要是找准球心的位置再找它和几何体的边，高等线段的关系求解。内接问题的关键是抓住其特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解。（责任编辑：袁凌云）