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1、空间几何体中球的切接问题 作者：袁海军 来源：广东教育（高中）2021 年第 09 期 空间几何体的外接球是高中数学的重点也是难点，更是高考的热点.通常涉及求几何体的表面积、体积并以较难的选填题来考查.我们可以通过对几何体的割补构造或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题.而对于其内切球通常采用等体积法来求解.引例：（2021高考全国？芋卷第 11 题）已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O的球面上的三个点，且 ACBC，AC=BC=1，则三棱锥 O-ABC的体积为（）A.B.C.D.解析：ACBC，AC=BC=1，ABC为等腰直角三角形，AB=2r=，ABC外接圆的半径：r=，又球的半
2、径为 1，设 O 到平面 ABC 的距离为 d，则 d=，所以 VO-ABC=S ABCd=11=.故选：A.点评：本题作为选择题第 11题，表面看似较难，实则简单.它考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.接下来我们谈谈空间几何体中有关球问题的解题策略.策略一、对空间几何体的割补构造法，通常构造熟悉的几何体（如长方体、正方体等）题型 1.墙角模型 例 1.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3，那么它的外接球的表面積是.解析：三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为 a，b，c（a，b，cR+），则 ab=12，bc=8，ac
3、=6，abc=24，a=3，b=4，c=2，（2R）2=a2+b2+c2=29，S=4？仔 R2=29？仔.点评：此法适应于墙角模型（即三条线两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径），它可以通过构造长方体，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2，即 2R=，求出 R.巩固题 1.（2020 年高考天津卷第 5题）若棱长为 2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12？仔 B.24？仔 C.36？仔 D.144？仔 解析：设外接球的半径为 R，易知 2R=2=6，所以 R=3，于是表面积 S=4？仔 R2=36？仔，故选 C.题型 2.对棱相等模型 例 2.在三棱锥 A-BC
4、D 中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥 A-BCD外接球的表面积为.解析：已知三棱锥的三组对棱分别相等，可补形构造长方体.设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a，b，c，则a2+b2=9，b2+c2=4，c2+a2=162（a2+b2+c2）=9+4+16=29，2（a2+b2+c2）=9+4+16=29，a2+b2+c2=，4R2=，S=？仔.点评：此法适应于对棱相等模型（补形为长方体）.此类题型解法的基本步骤：题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）.第一步：画出一个长方体，标出三
5、组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为 a，b，c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组，a2+b2=x2，b2+c2=y2，c2+a2=z2？圯（2R）2=a2+b2+c2=，补充：VA-BCD=abc-abc4=abc.第三步：根据墙角模型，2R=，R2=，R=，求出 R.例如，正四面体的外接球和内切球半径可用此法快速求解.巩固题 2.若四面体的各条棱长都为，则该四面体外接球的体积为，内切球表面积为.解析：可知该几何体为正四面体，这也是对棱相等模式的一种特殊情况，可补形为正方体，易得正方体棱长 a=1.设其外接球半径为 R，内切球半径为 r，则：2R=a
6、=，R=，V=？仔=？仔，2r=a=1，r=，S=4？仔 r2=？仔.策略二、寻求空间几何体外接球球心、截面圆心及球心到截面距离的勾股法 题型 3.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图 3，PA平面 ABC 解题步骤：第 1步：将 ABC 画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接PD，则 PD必过球心 O;第 2步：O1 为 ABC 的外心，所以 OO1平面 ABC，算出小圆 O1的半径 O1D=r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得：=2r），OO1=PA;第 3步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2=PA2+（2r）2？圳 2R=;R2=r
7、2+O？圳 R=.例 3.已知在三棱锥 S-ABC中，侧棱 SA平面 ABC，底面 ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于.解析：设其外接球半径为 R，ABC的外接圆半径为 r，则 2r=2，（2R）2=（2r）2+SA2=4+12=16，R2=4，R=2，即三棱锥的外接球体积：V=？仔 R3=？仔.点评：此法关键是求出小圆的直径，再用勾股法求出外接球的半径.基本思路：外心法（加中垂线）找球心;正弦定理求小圆半径.巩固题 3.已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60，则多面体 E-ABCD 的外接球的表面积为.解
8、析：依题意可设所求的外接球球心为 O，半径为 R，EAB的外接圆圆心为 O1，半径为 r1，矩形 ABCD外接圆圆心为 O2，半径为 r2.方法 1：不难得 EAB是等边三角形，且 EAB的外接圆半径为 r1=，OO1=1，R=2;可得 S=16？仔.方法 2：O1M=，r2=O2D=，R2=+=4，R=2，可得 S=16？仔.题型 4.汉堡模型 题设：如图 5，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第 1步：确定球心 O的位置，O1是 ABC 的外心，则 OO1平面 ABC;第 2步：算出小圆 O1的半径 AO1=r，OO1=AA1=h（AA1=h 也是圆
9、柱的高）;第 3步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2？圯 R2=（）2+r2？圯 R=，解出 R.例 4.已知一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该正六棱柱的体积为，底面周長为3，则这个球的体积为_.解析：设底面正六边形边长为 a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为 r，则 a=r=，底面积为 S=6（）2=，V柱=Sh=h=，h=，R2=（）2+r2=（）2+（）2=1，R=1，球的体积为 V=.点评：此法适应于汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球），关键是先求出底面外接圆的半径，球心一定落在上下两个圆心连线的中点，再用勾股定理求出外接球的半径即可.巩固题 4.已知直三棱柱 AB
10、C-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于.解析：依题意得：BC=2，由正弦定理得：2r=4，r=2，R2=（）2+r2=12+22=5，即 S=4？仔 R2=20？仔.题型五.折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图 6）第 1步：先画出如图 6 所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD 的外心H1 和 H2;第 2步：过 H1和 H2分别作平面 BCD和平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE，OC;第 3步：解 OEH1，算出 OH1，在 Rt OCH1中，勾股定理
11、：O+C=OC2.例 5.在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为（）A.？仔 B.？仔 C.？仔 D.？仔 2r=a=1，r=，S=4？仔 r2=？仔.策略二、寻求空间几何体外接球球心、截面圆心及球心到截面距离的勾股法 题型 3.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图 3，PA平面 ABC 解题步骤：第 1步：将 ABC 画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接PD，则 PD必过球心 O;第 2步：O1 为 ABC 的外心，所以 OO1平面 ABC，算出小圆 O1的半径
12、 O1D=r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得：=2r），OO1=PA;第 3步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2=PA2+（2r）2？圳 2R=;R2=r2+O？圳 R=.例 3.已知在三棱錐 S-ABC中，侧棱 SA平面 ABC，底面 ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于.解析：设其外接球半径为 R，ABC的外接圆半径为 r，则 2r=2，（2R）2=（2r）2+SA2=4+12=16，R2=4，R=2，即三棱锥的外接球体积：V=？仔 R3=？仔.点评：此法关键是求出小圆的直径，再用勾股法求出外接球的半径.基本思路：外心法（加中垂线）找球心;正
13、弦定理求小圆半径.巩固题 3.已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60，则多面体 E-ABCD 的外接球的表面积为.解析：依题意可设所求的外接球球心为 O，半径为 R，EAB的外接圆圆心为 O1，半径为 r1，矩形 ABCD外接圆圆心为 O2，半径为 r2.方法 1：不难得 EAB是等边三角形，且 EAB的外接圆半径为 r1=，OO1=1，R=2;可得 S=16？仔.方法 2：O1M=，r2=O2D=，R2=+=4，R=2，可得 S=16？仔.题型 4.汉堡模型 题设：如图 5，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可
14、以是任意三角形）第 1步：确定球心 O的位置，O1是 ABC 的外心，则 OO1平面 ABC;第 2步：算出小圆 O1的半径 AO1=r，OO1=AA1=h（AA1=h 也是圆柱的高）;第 3步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2？圯 R2=（）2+r2？圯 R=，解出 R.例 4.已知一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该正六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_.解析：设底面正六边形边长为 a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为 r，则 a=r=，底面积为 S=6（）2=，V柱=Sh=h=，h=，R2=（）2+r2=（）2+（）2=1，R=1，球的体积为 V=.点评：此法适
15、应于汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球），关键是先求出底面外接圆的半径，球心一定落在上下两个圆心连线的中点，再用勾股定理求出外接球的半径即可.巩固题 4.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于.解析：依题意得：BC=2，由正弦定理得：2r=4，r=2，R2=（）2+r2=12+22=5，即 S=4？仔 R2=20？仔.题型五.折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图 6）第 1步：先画出如图 6 所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD 的外心H1 和 H2;第
16、2步：过 H1和 H2分别作平面 BCD和平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE，OC;第 3步：解 OEH1，算出 OH1，在 Rt OCH1中，勾股定理：O+C=OC2.例 5.在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为（）A.？仔 B.？仔 C.？仔 D.？仔 2r=a=1，r=，S=4？仔 r2=？仔.策略二、寻求空间几何体外接球球心、截面圆心及球心到截面距离的勾股法 题型 3.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图 3，PA平面 ABC 解题步骤：第 1步：将 AB
17、C 画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接PD，则 PD必过球心 O;第 2步：O1 为 ABC 的外心，所以 OO1平面 ABC，算出小圆 O1的半径 O1D=r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得：=2r），OO1=PA;第 3步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2=PA2+（2r）2？圳 2R=;R2=r2+O？圳 R=.例 3.已知在三棱锥 S-ABC中，侧棱 SA平面 ABC，底面 ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于.解析：设其外接球半径为 R，ABC的外接圆半径为 r，则 2r=2，（2R）2=（2r）2+SA2=
18、4+12=16，R2=4，R=2，即三棱锥的外接球体积：V=？仔 R3=？仔.点评：此法关键是求出小圆的直径，再用勾股法求出外接球的半径.基本思路：外心法（加中垂线）找球心;正弦定理求小圆半径.巩固题 3.已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60，则多面体 E-ABCD 的外接球的表面积为.解析：依题意可设所求的外接球球心为 O，半径为 R，EAB的外接圆圆心为 O1，半径为 r1，矩形 ABCD外接圆圆心为 O2，半径为 r2.方法 1：不难得 EAB是等边三角形，且 EAB的外接圆半径为 r1=，OO1=1，R=2;可得 S=16？
19、仔.方法 2：O1M=，r2=O2D=，R2=+=4，R=2，可得 S=16？仔.題型 4.汉堡模型 题设：如图 5，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第 1步：确定球心 O的位置，O1是 ABC 的外心，则 OO1平面 ABC;第 2步：算出小圆 O1的半径 AO1=r，OO1=AA1=h（AA1=h 也是圆柱的高）;第 3步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2？圯 R2=（）2+r2？圯 R=，解出 R.例 4.已知一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该正六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_.解析：设底面正六边形边长为 a，正六棱柱的
20、高为 h，底面外接圆的关径为 r，则 a=r=，底面积为 S=6（）2=，V柱=Sh=h=，h=，R2=（）2+r2=（）2+（）2=1，R=1，球的体积为 V=.点评：此法适应于汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球），关键是先求出底面外接圆的半径，球心一定落在上下两个圆心连线的中点，再用勾股定理求出外接球的半径即可.巩固题 4.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于.解析：依题意得：BC=2，由正弦定理得：2r=4，r=2，R2=（）2+r2=12+22=5，即 S=4？仔 R2=20？仔.题型五.折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图 6）第 1步：先画出如图 6 所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD 的外心H1 和 H2;第 2步：过 H1和 H2分别作平面 BCD和平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE，OC;第 3步：解 OEH1，算出 OH1，在 Rt OCH1中，勾股定理：O+C=OC2.例 5.在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为（）A.？仔 B.？仔 C.？仔 D.？仔