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1、球与其它几何体的切接问题 一典型结论 1.正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，与正方体的所有棱都相切的球的半径为 。2.长方体的长宽高分别为a，b，c,则它的外接球的半径为 。3.正四面体的棱长为a,则它的外接球和内切球的半径分为 。二结论的直接应用 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为29，则正方体的棱长为 。2.四面体 ABCD的各棱长均为 2，且四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 。3.已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为 （）A.332 B.4 C.2 D.34 4.已 知 直 三 棱 柱111
2、CBAA B C 的6 个 顶 点 都 在 球O 的 球 面 上，若ACABACAB,4,3，121AA，则球 O 的半径为 5.已知正四棱柱的顶点在同一球面上，球的表面积为12，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为 。6.三棱锥 M-ABC的四个顶点都在球 O 的表面上,且,3,2,1MCMBMA当三棱锥M-ABC三个侧面面积之和最大时，三棱锥 M-ABC与球 O 的体积之比为 。7.三棱锥 A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，其外接球半径为 2，设三棱锥的侧面积为 S,则 S 的最大值为 。三222drR型 1.正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
3、则该球的体积为 。2.已知矩形 ABCD的顶点都在球心为 O，半径为 R的球面上，AB=6,BC=32,且四棱锥O-ABCD的体积为38，则 R 等于 A.4 B.32 C.794 D.13 3.三棱锥 S-ABC的底面是边长为 1 的正三角形，其体积为62，SC 是三棱锥外接球的直径，则该三棱锥外接球的表面积为 。4.三棱锥 S-ABC的底面是边长为 1 的正三角形，SC 是三棱锥外接球的直径，且 SC=2，则该三棱锥的体积为 。5.棱长为 2 的正方体1111DCBAABCD 的所有顶点均在球 O 的球面上,E,F,G分别为AB,AD,1AA的中点,则平面 EFG截球 O 所得圆的半径为(
4、)A.2 B315.C.362 D.3 6.在体积为21的三棱锥P-ABC中，ABC是以0120ABC为顶角，腰长为1的等腰三角形，若090PCBPAB，则棱锥P-ABC外接球的表面积为 。四侧棱与底面垂直型 1.三棱锥 P-ABC中，PA平面 ABC,ACBC,AC=BC=2,PA=22,则三棱锥外接球的体积为（）A.64 B.34 C.316 D.332 2.三棱锥 S-ABC的四个顶点都在球O 的表面上，060,2,1,152,BBACACABSACASA面则球 O 的表面为 。3.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A.24 B.36 C.40 D.400 五侧面与
5、底面垂直型 1.已知三棱锥 P-ABC的顶点都在球 O 的球面上，PAB与ABC是边长为32的正三角形，平面 PAB平面 ABC，则球 O 的表面积为 。2.三棱锥D-ABC的四个顶点都在同一球面上，DBCACAB,是边长为4 的正三角形，若,DCBCAB面面则该球的表面积为 。3.已知四棱锥 P-ABCD的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD为正方形，PA=1,PB=3,AB=32,平面 PAB底面 ABCD,则球 O 的体积为 。4.如图，在小正方体边长为 的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 。5.已知等腰直角三角形 ABC中，AB=AC=2，D,E分别是 AB
6、,AC的中点，沿 DE 将ABC折成直二面角，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为 。6.四面体的一条棱长为c,其余棱长均为 3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为 。7.表面积为40的球面上有四点 S、A、B、C 且SAB 是等边三角形,球心 O 到平面SAB的距离为2,若平面SAB 平面 ABC,则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 六综合题目 1.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最
7、大值为 36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256 3.三棱锥 S-ABC的顶点都在同一球面上，且2,2SCBCSBACSA则给球的体积为 。4.已知一圆锥的母线长为10cm,底面半径为5cm.内有一个球与圆锥的底面及所有母线都相切，则该球的体积为 。5.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 。6.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球 O 的球面上，ABC，PAB是边长为32的三角形，二面角 P-AB-C的平面角为060，则球 O 的表面积为 。7.三棱锥 A-BCD中，ABC为等边三角形，AB=32,BDC90,
8、二面角 A-BC-D 的大小为150，则三棱锥 A-BCD的外接球胡表面积为 。8.在所有棱长为 3 的三棱锥 P-ABC 内，有一个半球，其底面与三棱锥的底面重合，且与三棱锥胡三个侧面都相切，则该半球的体积为 。球与其它几何体的切接问题答案 一.1.2a；23a；22a 2.2222cba 3.a46R外，a126R内 二.1.3;2.6;3.D;4.213;5.2;6.1:6 7.8 三1.16243 2.A 3.4 4.62 5.B 6.16 3.C 四.1.D 2.64 3.C 五1.20 2.364 3.810217 4.34 5.10 6.15 7.66 六1.B 2.C 3.34 4.273500 5.36 6.352 7.28 8.2764