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1、2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 1 高考文科数学真题及答案全国卷 1 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 课标全国，文 1)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,4 2(2013 课标全国，文 2)212i1 i ()A.1 12
2、B11+i2 C1+12 D1 12【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】212i12i12i i2i1 i2i22 11+i2.3(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A12 B13 C14 D16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为13.4(2013 课标全国，文 4)已知双曲线C：2222=1xyab(a0，b0
3、)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A y=14 By=13 C12yx Dy=【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】52e，52ca，即2254ca.2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 2 c2a2b2，2214ba.12ba.双曲线的渐近线方程为byxa，渐近线方程为12yx.故选 C.5(2013 课标全国，文 5)已知命题p：xR,2x3x；命题q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由 2030知，p为假命题令h(x)x31x2，h(0)10
4、，h(1)10，x31x20 在(0,1)内有解 xR，x31x2，即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选 B.6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为23的等比数列an的前n项和为Sn，则()A=2 1 B=3 2 C=4 3 D=3 2【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前 n 项和公式。【解析】11211321113nnnnaaa qaqSqq 32an，故选 D.7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()A3,4 B5,2 C4,3 D2,5【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。
5、【解析】当1t1 时，s3t，则s3,3)当 1t3 时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减 smax4，smin3.s3,4 2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 3 综上知s3,4故选 A.8(2013 课标全国，文 8)O为坐标原点，F为抛物线C：y24 2x的焦点，P为C上一点，若|PF|4 2，则POF的面积为()A2 B2 2 C2 3 D4【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用|PF|24 2Px，可得xP3 2.yP2 6.SPOF12|OF|yP|2 3.故选 C.9(2013 课标
6、全国，文 9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为()【答案】C【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数可排除 B当x0,2时，f(x)0，排除 A.当x(0，)时，f(x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令f(x)0，得23x.故极值点为23x，可排除 D，故选 C.10(2013 课标全国，文 10)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，
7、考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由 23cos2Acos 2A0，得 cos2A125.A0,2，cos A15.cos A236492 6bb，b5 或135b (舍)故选 D.11(2013 课标全国，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 4 C1616 D816【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱122248，V长方体42216.所以所求体积为 168.故选 A.12(2013 课标全国，文 12)已知函数
8、f(x)22,0,ln(1),0.xx xxx若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,0【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示 当a0 时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当a0 时，若x0，则|f(x)|ax恒成立 若x0，则以yax与y|x22x|相切为界限，由2,2,yaxyxx得x2(a2)x0.(a2)20，a2.a2,0故选 D.第卷（选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13(2013
9、课标全国，文 13)已知两个单位向量a，b的夹角为 60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】bc0，|a|b|1，a，b60，ab111 122.bcta(1t)bb0，即tab(1t)b20.12t1t0.t2.14 (2013 课 标 全 国 ，文 14)设x，y满 足 约 束 条 件2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 5 13,10,xxy 则z2xy的最大值为_【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示 画出直线 2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为
10、z2333.15(2013 课标全国，文 15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_【答案】92【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球O的半径为R，则AH23R，OH3R.又EH2，EH1.在 RtOEH中，R222+13R，R298.S球4R292.16(2013 课标全国，文 16)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则 cos _.【答案】2 55【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x2cos x5sin(x)，其中 sin 2 55，cos
11、55.当x2k2(kZ)时，f(x)取最大值 即2k2(kZ)，2k2(kZ)cos cos2sin 2 55.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 6(2)求数列21211nnaa的前n项和 【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设an的公差为d，则Sn1(1)2n nnad.由已知可得31+3d=051+10d=5 解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2
12、)由(1)知21211nnaa111132122 2321nnnn ，从而数列21211nnaa的前n项和为 1111111211132321nn 12nn.18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7
13、1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设 A 药观测数据的平均数为x，B 药观测数据的平均数为y.由观测结果可得 2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 7 x120(0.61.21.21
14、.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，y120(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得xy，因此可看出 A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好 19(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CAC
15、B，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积 【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又A1C 平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为 2 的等边三角形，所以OCOA13.又A1C6，则A1C2OC221OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面A
16、BC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高 又ABC的面积SABC3，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 8 20(2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x
17、)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)1e2x.令f(x)0 得，xln 2 或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减 当x2 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)21(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最
18、长时，求|AB|.【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143xy(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，
19、其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为 90，则l与y轴重合，可得|AB|2 3.2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 9 若l的倾斜角不为 90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1|QPRQMr，可求得 Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得2|3|1kk1，解得k24.当k24时，将224yx代入22=143xy，并整理得 7x28x80，解得x1,246 27，所以|AB|21 k|x2x1|187.当k24时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：
20、只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.()证明：DB=DC;()设圆的半径为 1，BC=3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】(1)连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为
21、DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG32.2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 10 设DE的中点为O，连结BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故 RtBCF外接圆的半径等于32.23(2013 课标全国，文 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1
22、与C2交点的极坐标(0,02)【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。【解析】(1)将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将cos,sinxy代入x2y28x10y160 得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由2222810160,20 xyxyxyy 解得1,1xy或0,2.xy 所以C1与C2交点的极坐标分别为2,4，2,2.24(2013 课标全国，文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选
23、讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2 时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x1,2 2a时，f(x)g(x)，求a的取值范围【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当a2 时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，2019 年高考文科数学真题及答案全国卷 1 11 则y15,212,1,236,1.x xxxxx 其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0 x2(2)当x1,2 2a时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为 1ax3.所以xa2 对x1,2 2a都成立 故2aa2，即a43.从而a的取值范围是41,3.