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1、 1 2013 年高考文科数学真题及答案全国卷 I 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 课标全国，文 1)已知集合A1,2，3，4,Bx|xn2，nA，则AB（)A1,4 B 2,3 C 9，16 D1,2 2(2013 课标全国，文 2）212i1 i （）A11i2 B11+i2 C11+i2 D11i2 3(2013 课标全国，文 3)从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A12 B13 C14 D16 4(2013 课标全国,文 4)已知双曲线C
2、：2222=1xyab(a0，b0）的离心率为52，则C的渐近线方程为()Ay14x By13x Cy12x Dyx 5（2013 课标全国，文 5)已知命题p:xR，2x3x；命题q：xR,x31x2，则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 6(2013 课标全国，文 6）设首项为 1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()ASn2an1 BSn3an2 CSn43an DSn32an 7(2013 课标全国，文 7）执行下面的程序框图,如果输入的t1，3，则输出的s属于（）A 3，4 B5,2 C4,3 D 2,5 8（2013 课标全国，文 8）O为坐标原点
3、,F为抛物线C:y24 2x的焦点，P为C上一点，若PF4 2，则POF的面积为（）A2 B2 2 C2 3 D4 9（2013 课标全国,文 9)函数f（x)（1cos x)sin x在，的图像大致为(）10(2013 课标全国，文 10)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c,23cos2A 2 cos 2A0,a7，c6，则b（）A10 B9 C8 D5 11(2013 课标全国，文 11）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A168 B88 C1616 D816 12（2013 课标全国，文 12）已知函数f（x)22,0,ln(1),0.xx xxx若f（x
4、)|ax,则a的取值范围是(）A(，0 B(，1 C 2,1 D2，0 第卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13（2013 课标全国，文 13)已知两个单位向量a，b的夹角为 60,cta(1t）b。若bc0，则t_.14（2013 课标全国，文 14)设x,y满足约束条件13,10,xxy 则z2xy的最大值为_ 15(2013 课标全国,文 15）已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足,截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_ 16（2013 课标全国,文 16)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.三、解答题：解
5、答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17（2013 课标全国,文 17）（本小题满分 12 分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.（1)求an的通项公式；（2)求数列21211nnaa的前n项和 18（2013 课标全国，文 18)（本小题满分 12 分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:0。6 1。2 2.7 1.5 2。8 1。8 2。2
6、2.3 3。2 3.5 2。5 2。6 1.2 2.7 1.5 2。9 3。0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1。2 2.6 1.3 1。4 1。6 0.5 1.8 0.6 2。1 1.1 2.5 1。2 2。7 0。5(1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？3 19（2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160。（1）证明：ABA1C;(
7、2)若ABCB2，A1C6,求三棱柱ABCA1B1C1的体积 20(2013 课标全国,文 20)（本小题满分 12 分)已知函数f(x)ex（axb)x24x，曲线yf（x)在点(0，f(0)）处的切线方程为y4x4。(1）求a，b的值;(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 21（2013 课标全国，文 21）(本小题满分 12 分）已知圆M：(x1)2y21，圆N：（x1）2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；(2）l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A，B两点,当圆P的半径最长时,求|AB.请考生在第（22）、(23）、
8、（24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.23（2013 课标全国，文 23）（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin.(1）把C1的参数方程化为极坐
9、标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)24(2013 课标全国,文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数f(x）|2x1|2xa|，g（x）x3.（1)当a2 时，求不等式f(x）g（x)的解集;4(2）设a1，且当x1,2 2a时，f（x）g（x)，求a的取值范围 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 I 新课标)第卷 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案：A 解析：Bxxn2，nA1，4，9，16，AB1,4 2 答案：B 解析：212i12i12i i2
10、i1 i2i22 11+i2。3 答案：B 解析：由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2),(1，3)，(1，4），（2,3),（2，4),（3,4),满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为13。4 答案：C 解析:52e，52ca，即2254ca。c2a2b2，2214ba.12ba.双曲线的渐近线方程为byxa，渐近线方程为12yx。故选 C。5 答案：B 解析：由 2030知，p为假命题令h（x）x31x2，h（0)10,h（1)10，x31x20 在（0，1)内有解 xR，x31x2,即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选 B.6 答案：D 5 解析：11211321113n
11、nnnaaa qaqSqq 32an，故选 D。7 答案:A 解析：当1t1 时,s3t，则s3,3）当 1t3 时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1，2上单调递增，在2,3上单调递减 smax4，smin3。s3，4 综上知s3，4 故选 A.8 答案：C 解析:利用PF24 2Px，可得xP3 2.yP2 6.SPOF12OF|yP2 3.故选 C。9 答案:C 解析：由f（x)（1cos x）sin x知其为奇函数可排除 B当x0,2时，f(x）0，排除 A。当x（0，)时，f(x)sin2xcos x（1cos x）2cos2xcos x1.令f(x）0，得23x。故极值点
12、为23x，可排除 D，故选 C。10 答案：D 解析：由 23cos2Acos 2A0,得 cos2A125。A0,2，cos A15。cos A236492 6bb，b5 或135b （舍)故选 D。11 答案:A 解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱122248，V长方体42216.所以所求体积为 168.故选 A。12 答案：D 6 解析：可画出f(x)的图象如图所示 当a0 时，yax与yf（x）恒有公共点，所以排除 B，C;当a0 时,若x0，则f(x）ax恒成立 若x0,则以yax与yx22x|相切为界限,由2,2,yaxyxx得x2(a2)x0.（a2
13、）20,a2.a2,0 故选 D。第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答 第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13答案：2 解析:bc0,|ab|1，a，b60，ab111 122.bcta（1t）bb0,即tab（1t)b20。12t1t0.t2。14答案:3 解析：画出可行域如图所示 画出直线 2xy0，并平移,当直线经过点A（3，3)时，z取最大值，且最大值为z2333。15答案：92 解析：如图，设球O的半径为R，则AH23R，OH3R.又EH2，EH1。在 RtOEH中
14、,R222+13R,R298。S球4R292.16答案：2 55 解析：f（x)sin x2cos x5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55.7 当x2k2（kZ)时,f（x)取最大值 即2k2（kZ)，2k2（kZ）cos cos2sin 2 55.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解：(1）设an的公差为d，则Sn1(1)2n nnad。由已知可得11330,5105,adad 解得a11，d1。故an的通项公式为an2n.（2)由(1)知21211nnaa111132122 2321nnnn ，从而数列21211nnaa的前n项和为 11111112
15、11132321nn 1 2nn.18 解:（1)设 A 药观测数据的平均数为x，B 药观测数据的平均数为y.由观测结果可得 x120(0。61.21。21.51.51.82。22。32.32。42。52。62.72。72。82。93.03.13。23.5）2.3，y120（0。50.50.60。80。91。11.21。21.31.41.61。71。81。92。12。42.52。62.73.2）1。6。由以上计算结果可得xy，因此可看出 A 药的疗效更好（2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试 8 验结果有
16、710的叶集中在茎 0，1 上，由此可看出 A 药的疗效更好 19 （1）证明：取AB的中点O,连结OC,OA1，A1B。因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160,故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C。又A1C 平面OA1C，故ABA1C。（2）解:由题设知ABC与AA1B都是边长为 2 的等边三角形，所以OCOA13.又A1C6，则A1C2OC221OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高 又ABC的面积SABC3，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13。20 解:（
17、1）f（x)ex（axab）2x4.由已知得f(0）4，f(0）4.故b4，ab8。从而a4,b4.(2)由（1）知，f(x)4ex（x1）x24x，f（x）4ex(x2)2x44（x2）1e2x.令f（x）0 得，xln 2 或x2.从而当x（，2）(ln 2,)时，f（x)0；当x(2，ln 2）时，f（x）0.故f（x)在(，2），(ln 2，）上单调递增，在(2,ln 2)上单调递减 当x2 时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2)4(1e2）21 解：由已知得圆M的圆心为M（1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0），半径r23。设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.（1）因
18、为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM|PN(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知,曲线C是以M，N为左、右焦点,长半轴长为 2，短半轴长为3的椭圆（左顶点除外)，其方程为22=143xy(x2)(2)对于曲线C上任意一点P（x，y），由于PMPN2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为（x2）2y24.若l的倾斜角为 90，则l与y轴重合,可得AB2 3。若l的倾斜角不为 90,由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1|QPRQMr,可求得Q（4，0），所以可设l：yk(x4）9 由l与圆M相切得2|3|1kk1,解
19、得k24.当k24时,将224yx代入22=143xy，并整理得 7x28x80，解得x1,246 27,所以|AB21 kx2x1|187.当k24时，由图形的对称性可知AB187.综上，|AB|2 3或AB187。请考生在第(22）、(23)、(24)三题中任选一题做答 注意：只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 (1）证明:连结DE，交BC于点G。由弦切角定理得，ABEBCE。而ABECBE,故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径,DCE90，由勾股定理可得DBDC。（2）解：由（1）知，CD
20、EBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线,所以BG32。设DE的中点为O，连结BO,则BOG60。从而ABEBCECBE30，所以CFBF,故 RtBCF外接圆的半径等于32.23 解：(1）将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程（x4）2（y5）225，即C1:x2y28x10y160。将cos,sinxy代入x2y28x10y160 得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160.（2）C2的普通方程为x2y22y0。由2222810160,20 xyxyxyy 10 解得1,1xy或0,2.xy 所以C1与C2交点的极坐标分别为2,4，2,2。24 解：(1)当a2 时，不等式f(x)g(x)化为2x12x2x30.设函数y|2x1|2x2x3,则y15,212,1,236,1.x xxxxx 其图像如图所示从图像可知，当且仅当x（0，2）时,y0.所以原不等式的解集是x0 x2 (2)当x1,2 2a时，f(x)1a。不等式f(x）g（x)化为 1ax3.所以xa2 对x1,2 2a都成立 故2aa2，即a43。从而a的取值范围是41,3。