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1、第 7 讲 乘法公式知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。知识梳理讲解用时：20分钟整式的乘法一、单项式乘单项式：单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.例如：3a4b=12ab 二、单项式乘多项式：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转
2、化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc 三、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加(m,n 都是整数)2、幂的乘方：底数不变，指数相乘(m,n 都是整数)3、积的乘方：积中每个因式分别乘方nnnabab(n 是整数)4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减mnm naaa（m、n 都是整数且 a0）引申：01a1nnaa(n 是正整数)一个数的负指数
3、幂等于正指数幂的倒数.nmnmaaamnnmaa)(平方差公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（x+1）（x-1）=x2-1 （a+2）（a-2）=a2-4（3-x）（3+x）=9-x2（2x+1）（2x-1）=4x2-1 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式巧记：用符号相同的平方减符号不同的平方.22)(bababa注意：a符号前后没有改变，b 的符号前后改变了，所以等号右边是 a 的平方减去b 的平方（平方差公式展开只有两项）课堂精讲精练【例题 1】（p）2?（p）3=【答案】p5【解析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加解：（p
4、）2?（p）3=（p）2+3=（p）5=p5；完全平方公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（a+b）2=a2+2ab+b2（a-2）2=a2-4a+4=a2-2a2+22（2a+b）2=4a2+4ab+b2=（2a）2+22ab+b2完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.巧记：首平方，尾平方，乘积2 倍放中央.拓展：a2+b2=（a+b）2-2ab a2+b2=（a-b）2+2ab（a+b）2=（a-b）2+4ab 2222)(bababa注意：完全平方公式展开有三项，a 的平方加上b 的平方，加上（或减去）a 乘以
5、b 的两倍故答案是：p5讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：河东区一模年份：2018【练习 1.1】计算：x2?x4=【答案】x6【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案解：x2?x4=x6，故答案为：x6讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意负号要照写.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：榆社县期中年份：2018【练习 1.2】计算 a
6、3?（a）2=【答案】a5【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案解：a3?（a）2=a3?a2=a5故答案为：a5讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意符号的变化.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：苏州期中年份：2018【例题 2】计算（a2b）3的结果是（）Aa6b3Ba6b C 3a6b3D 3a6b3【答案】A【解析】利用积的乘方性质：（ab）n=an?bn，幂的乘方性质：（am）n=amn，直接计算解：（a2b）3=a6b3故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了幂运算
7、的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握教学建议：熟练掌握积的乘方公式和幂的乘方公式.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】计算：（2m2n2）2?3m3n3【答案】12mn1【解析】先根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘和同底数幂相乘：底数不变指数相加的性质计算解：（2m2n2）2?3m3n3，=4m4n4?3m3n3，=12m43n4+3，=12mn1讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键，是基础题教学建议：熟练掌握积的乘方公式和同底数幂的乘法计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：
8、2018【练习 2.2】计算（1）（3a）?（2ab）（2）（2x2）3+4x3?x3【答案】（1）6a2b；（2）4x6【解析】（1）直接利用单项式乘以单项式运算法则求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简，进而合并同类项即可得出答案解：（1）（3a）?（2ab）=6a2b；（2）（2x2）3+4x3?x3=8x6+4x6=4x6讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方运算法则.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】计
9、算：【答案】8a4b3a3b3+a2b4【解析】首先进行积的乘方运算，再利用单项式乘以多项式得出答案解：原式=a2b2（a2b12ab+b2）=8a4b3a3b3+a2b4讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握单项式乘以多项式、积的乘方、同底数幂的乘法计算法则.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a=3，b=2时的绿化面积【答案】5a2+3a
10、b 63【解析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）（a+b）2=6a2+5ab+b2a22abb2=5a2+3ab，当 a=3，b=2 时，原式=532+332=63讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加教学建议：学会观察图形并掌握多项式乘多项式的运算法则.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 3.2】（1）已知 2x=3，2y=5，求 2x+y的值；（2）x2y+1=0，求：2
11、x4y8 的值【答案】（1）15；（2）4【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案解：（1）2x=3，2y=5，2x+y=2x2y=35=15；（2）x2y+1=0，x2y=1，2x4y8=2x2y+3=22=4讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键教学建议：熟练掌握同底数幂的乘除法计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】计算：（1）（x+2y）（2xy）（2）（2a3b）（2a3b）【答案】（1）2x2+3xy2y2；（2）9b24a2【解析
12、】（1）根据多项式乘以多项式，即可解答；（2）根据平方差公式，即可解答解：（1）（x+2y）（2xy）=2x2+3xy2y2；（2）（2a3b）（2a3b）=（3b）2（2a）2=9b24a2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式教学建议：熟练掌握平方差公式的运算法则.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】计算（x+2）?（x2）?（x2+4）【答案】x416【解析】首先利用平方差公式求得（x+2）?（x2）的值，继而再利用平方差公式求得答案解：原式=（x24）（x2+4）=x416讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了
13、平方差公式 此题难度不大，注意熟记平方差公式是解题的关键教学建议：熟练掌握平方差公式的计算，本题2 次运用平方差公式.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 4.2】计算：（1）（2a+1）（a2）；（2）（x+y3）（xy+3）【答案】（1）2a25a2；（2）=x2y2+6y9【解析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用平方差公式再结合完全平方公式计算得出答案解：（1）原式=2a24aa2=2a25a2；（2）原式=x+（y3）x（y3）=x2（y3）2=x2（y26y+9）=x2y2+6y9讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了平方
14、差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键教学建议：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的计算方法.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】计算（2a3b）2=计算：（2x+3）2=【答案】4a212ab+9b2 4x2+12x+9【解析】根据完全平方公式（ab）2=a22ab+b2分别进行计算，即可得出答案解：（2a3b）2=（2a）22?2a?3b（3b）2=4a212ab+9b2；故答案为：4a212ab+9b2（2x+3）2=4x2+12x+9故答案为：4x2+12x+9讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式：（ab）2=a22a
15、b+b2是解题的关键，是一道基础题，注意符号的变化教学建议：熟练掌握完全平方公式的计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】已知 a+b=4，则=【答案】8【解析】利用完全平方和公式将所求的代数式转化为含有（a+b）的代数式，然后将 a+b=4代入求值解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=42=8故答案是：8讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查完全平方公式解答该题时，需要牢记完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2及其变形的几种形式教学建议：灵活运用完全平方公式进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 5.2】已知
16、 x23x+1=0，则=【答案】7【解析】首先由 x23x+1=0，求得 x+的值，然后由（x+）2=x2+2，即可求得答案解：x23x+1=0，x+=3，（x+）2=x2+2=9，x2+=7故答案为：7讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了完全平方公式的应用解题的关键是掌握（x+）2=x2+2与整体思想的应用教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】已知 ax=2，ay=3求：（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值【答案】（1）-6；（2）-8；（3）-72【解析】（1）先根据同底数幂的乘法进行变形，再代入求
17、出即可；（2）先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；（3）先根据同底数幂的乘法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可解：（1）ax=2，ay=3，ax+y=ax?ay=23=6；（2）ax=2，ay=3，a3x=（ax）3=（2）3=8；（3）ax=2，ay=3，a3x+2y=（a3x）?（a2y）=（ax）3?（ay）2=（2）332=89=72讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行变形是解此题的关键教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】若 3x+
18、1=27，2x=4y1，求 xy【答案】0【解析】首先化成同底数可得x+1=3，x=2y2，解方程可得 x、y 的值，进而可得答案解：由题意得：x+1=3，x=2y2，解得：x=2，y=2，则 xy=0讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握27=33，4=22教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】已知 a2+b2=5，ab=1，则 a+b=【答案】【解析】根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再把 ab=1，a2+b2=5 整体代入即可解：（a+b）2=a2+2ab+b2，a+b=，故答案
19、为讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2关键是整体思想的运用教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】若 a+b=，ab=，则 ab=【答案】1【解析】两式相加求出 a 的值，进而求出 b 的值，即可求出 ab 的值解：将 a+b=，ab=两式相加得：2a=+，即 a=，将 a=5代入 ab=中，得：b=，即 b=，则 ab=1故答案为：1讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度：3 适应场景
20、：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 7.2】已知 a2+b2=12，ab=4，则 ab=【答案】2【解析】将 ab=4 两边同时平方，然后将a2+b2=12 代入所得结果进行计算即可解：ab=4，a22ab+b2=16，122ab=16，解得：ab=2故答案为：2讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】若 a3?am=a9，则 m=【答案】6【解析】根据同底数幂的运算即可求出答案解：由题意可知：3+m=9，m
21、=6，故答案为：6 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】计算题（1）（x）3（x）2（2）（）2016161008（3）7x4?x5?（x）7+5（x4）4（5x8）2【答案】（1）x5 （2）1 （3）27x16【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案解：（1）（x）3（x）2=x5；（2）（）2016161008=（）201642016=（4）2016=1；（3）7x4?x5?（x）7+5（x4）4（5x8）2
22、=7x16+5x1625x16=27x16讲解用时：4 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）2019220172021【答案】（1）488601；（2）4【解析】（1）根据完全平方公式即可求出答案（2）根据平方差公式即可求出答案解：（1）6992=（7001）2=700227001+1=4900001400+1=488601（2）2019220172021=20192（20192）（2019+2）=2019220192+22=4 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：201
23、8【作业 4】已知：a+b=1，ab=3，求下列代数式的值（1）a2b+ab2；（2）（ab）2【答案】（1）-3；（2）13.【解析】（1）直接将原式分解因式，进而代入已知求出答案；（2）直接将原式变形，进而代入已知求出答案解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）a+b=1，ab=3，原式=31=3；（2）（ab）2=a22ab+b2+4ab4ab=（a+b）24ab 把 a+b=1，ab=3 代入上式可得：原式 1+12=13讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】已知实数 m，n 满足 m+n=6，mn=3（1）求（m 2）（n2）的值；（2）求 m2+n2的值【答案】（1）-11；（2）42【解析】（1）将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案（2）根据完全平方公式即可求出答案解：（1）因为 m+n=6，mn=3，所以（m 2）（n2）=mn 2m 2n+4=mn 2（m+n）+4=326+4=11（2）m2+n2=（m+n）22mn=622（3）=36+6=42 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018