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1、第 9 讲 因式分解知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。中学代数主要做好3 件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式单项式（2）单项式多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式多项式（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd 乘法公式回顾:1、平
2、方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b22、完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2幂的计算回顾：(m,n 都是整数)(m,n 都是整数)nnnabab(n 是整数)mnm naaa（m、n 都是整数且 a0）nmnmaaamnnmaa)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧因式分解本节课，我们将学习在式的变形中，将一个多项式写成几个整式的乘积的形式1、因式分解的概念：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。例如：a2+a=a（a+1）ma+mb+mc=m
3、（a+b+c）a2-b 2=（a+b）（a-b）a2+a a（a+1）整式的乘法和因式分解的区分清楚了吗？一、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：把 8a3b2+12ab3c 分解因式.第一步，提公因式：4ab2解：原式=4ab2（2a2+3bc）公因式可以是单项式，也可以是多项式.二、公式法：a2-b 2=（a+b）（a-b）a2+2ab+b2=（a+b）2a2-2ab+b2=（a-b）2因式分解整式的乘法因式分解的一般方法如何找公因式？（1）取各项系数的最大公约数；（2）取
4、各项都含有的相同字母；（3）取相同字母的最低次幂.要善于发现哦，题目中含公式法的非常多三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x2+x-6 x -2 x 3 (-2x)+3x=x 对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解
5、，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题 1】分解因式：2（n2）+m（2n）=【答案】（2m）（n2）【解析】直接提取公因式（n2）进而分解因式即可解：原式=2（n2）m（n2）=（2m）（n2）故答案为：（2m）（n2）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】因式分解：3x218x=【答案】3x（x6）【解析
6、】直接找出公因式进而提取得出答案解：3x218x=3x（x6）故答案为：3x（x6）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 1.2】分解因式 8x2y2y=【答案】2y（2x+1）（2x1）【解析】首先提取公因式 2y，再利用平方差公式分解因式得出答案解：8x2y2y=2y（4x21）=2y（2x+1）（2x1）故答案为：2y（2x+1）（2x1）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用
7、公式是解题关键教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】因式分解：m 2-n 2=.9x24=【答案】(m+n)(m-n)(3x2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可解：m 2-n 2=(m+n)(m-n).9x24=（3x2）（3x+2）故答案为：（3x2）（3x+2）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】
8、分解因式：x29y2【答案】（x+3y）（x3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可解：原式=（x+3y）（x3y）故答案为：（x+3y）（x3y）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 2.2】因式分解：9p2=【答案】（3p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案解：9p2=（3p）（3+p）故答案为：（3p）（3+p）讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解
9、题关键教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】分解因式：x2x+1=【答案】（x1）2【解析】直接利用完全平方公式a22ab+b2=（ab）2把多项式分解即可解：原式=（x1）2故答案为：（x1）2讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a22ab+b2=（ab）2教学建议：注意看到有 3 项，2 项是平方和的形式且符号同号，另1 项是乘积的2 倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.
10、1】因式分解：x2y2+2xy=【答案】（xy）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案解：原式=（x2+y22xy）=（xy）2故答案为：（xy）2讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键教学建议：注意看到有 3 项，2 项是平方和的形式且符号同号，另1 项是乘积的2 倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 3.2】分解因式：m2+2mn+n2=【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案解：m2+2mn+n2=（m+n）2故答案为：（m+n）2讲解用时：
11、1 分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】因式分解：x24x+3=【答案】（x1）（x3）【解析】把 3 写成 1（3），又 13=4，所以利用十字相乘法分解因式即可解：x24x+3=（x1）（x3）故答案为：（x1）（x3）讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程教学建议：学会画十字相乘法图示.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，将
12、一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m，宽为 n 的全等小矩形，且m n（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10 厘米2，得出等式求出 m+n，进一步得到图中所有裁剪
13、线（虚线部分）长之和即可解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，m2+n2=29，（m+n）2=m2+2mn+n2，（m+n）2=29+20=49，m+n 0，m+n=7，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm 讲解用时：4 分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】分解因式：m225+9n2+6mn【答案
14、】（m+3n+5）（m+3n 5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案解：原式=（m2+6mn+9n2）25=（m+3n）225=（m+3n+5）（m+3n 5）讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】因式分解：a22ab+b21【答案】（ab+1）（ab1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a22ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组解：a22ab+b21，=（ab）21，
15、=（ab+1）（ab1）讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】因式分解（1）ax216ay2（2）2a3+12a218a（3）（x+2）（x6）+16 （4）a22ab+b21【答案】（1）a（x+4y）（x4y）（2）2a（a3）2（3）（x2）2；（4）（ab+1）（ab1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用
16、完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式解：（1）原式=a（x216y2）=a（x+4y）（x4y）（2）原式=2a（a26a+9）=2a（a3）2（3）原式=x24x+4=（x2）2（4）原式=（ab）21=（ab+1）（ab1）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】将下列多项式因式分解（1）8x24xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2ab+ac
17、bc【答案】（1）4x（2xy）；（2）3x2（x+y）2；（3）（ab）（a+c）【解析】（1）提取公因式 4x 即可得；（2）先提取公因式 3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2ab、acbc 分别作为一组提取公因式后，再分解可得解：（1）原式=4x（2xy）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（ab）+c（ab）=（ab）（a+c）讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年
18、份：2018【例题 7】已知 xy=3，满足 x+y=2，求代数式 x2y+xy2的值【答案】6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可解：xy=3，x+y=2，x2y+xy2=xy（x+y）=32=6讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】已知 ab=2，ab=3，求 a3b2a2b2+ab3的值.【答案】18【解析】本题要求代数式a3b2a2b2+ab3的值，而代数式a3b2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（
19、ab）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答解：a3b2a2b2+ab3=ab（a22ab+b2）=ab（ab）2当 ab=3，ab=2 时，原式=232=18，故答案为：18.讲解用时：3 分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】分解因式：2m2m=【答案】m（2m 1）【解析】直接把公因式 m提出来即可解：2m2m=m（2m 1）故答案为：m（2m 1）讲解用时：1 分钟难度：3 适应场景：练习题例题
20、来源：无年份：2018【作业 2】因式分解（1）m24n2（2）2a24a+2【答案】（1）（m+2n）（m 2n）；（2）2（a1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案解：（1）原式=（m+2n）（m 2n）（2）原式=2（a22a+1）=2（a1）2讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】因式分解：（1）3a（xy）5b（yx）（2）x6x2y4【答案】（1）（xy）（3a+5b）；（2）x2（xy）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案解：（1）原式=（xy）（3a+5b）（2）=x2（x4y4）=x2（x2y2）（x2+y2
21、）=x2（xy）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】已知 a+b=2，ab=2，求 a2b+ab2的值【答案】4【解析】首先提公因式 ab，进而分解因式得出答案解：a+b=2，ab=2，a2b+ab2=ab（a+b）=22=4讲解用时：2 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图 A可以用来解释 a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解（1）图 B可以解释的代数恒等式是；（2
22、）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1 号卡片、2 号卡片和 3 号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对 2a2+3ab+b2进行因式分解【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018