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1、第 4 讲 轴对称图形知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习轴对称图形，学会区分轴对称图形和轴对称，明确轴对称图形有多少条对称轴，以及判断我们所学的基本图形是否为轴对称图形。知识梳理讲解用时：20分钟线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线；角也是轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线所在的直线.轴对称图形以上几幅图形有什么特点？1、轴对称图形和对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是 轴对称图形.这条直线就是这个图形的对称轴.折叠后重合的点是对
2、应点，叫做 对称点.你能画出上述图形的对称轴吗？各有几条？常见的轴对称图形轴对称图形的性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）角平分线上的点到角两边距离相等。（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。轴对称图形的画法如图，已知 ABC和直线 L，画出 ABC关于直线L 对称的图形ABC的方法：（3）连接 AB，BC，CA，得到 ABC即为所求.轴对称以上每对图形有什么特点？1、轴对称的定义：平面上的 两个图形，将其中一个图形沿着某一条直
3、线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，简称轴对称.这条直线叫做 对称轴.两个图形中的对应点（即两图形重合时的点）叫做关于这条直线的 对称点.注意：如果一点在对称轴上，它的对称点就是它本身两个图形一个图形（轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.）这两个图形有区别吗？轴对称和轴对称图形的区别和联系课堂精讲精练【例题 1】1观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（）ABC.D【答案】C【
4、解析】直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称解：由图形可以看出：C选项中的伞把不对称，故选C讲解用时：2 分钟解题思路：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合教学建议：学会判断轴对称，要注意轴对称和轴对称图形的区别.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】下列图形中，ABC与 ABC 关于直线 MN 成轴对称的是（）ABC D【答案】B【解析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B 选项中对应点的连线被对称轴MN 垂直平分，所以 B是符合要求的故选：B讲
5、解用时：2 分钟解题思路：本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键教学建议：学会判断轴对称，要注意轴对称和轴对称图形的区别.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】如图所示，在 ABC中，C=90，AB=16cm，BC的垂直平分线交AB于点 D，则点 C与点 D的距离是 cm【答案】8【解析】首先连接 CD，由 BC的垂直平分线交 AB于点 D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得 CD=BD，又由 C=90，根据等角的余角相等，即可求得A=ACD，则可得 AD=CD，继而可求得 CD=
6、AB 解：连接 CD，BC的垂直平分线交AB于点 D，CD=BD，DCB=B，C=90，A+B=90，ACD+DCB=90，A=ACD，AD=CD，CD=AD=BD=AB=16=8（cm）故答案为：8讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，证得 CD=AD=BD教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】如图，在 ABC 中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交 AC于点 N，BCN 的周长是5cm，则 BC的长等于c
7、m【答案】2【解析】由 AB的垂直平分线交 AC于点 N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而 BC+BN+NC=5cm，则 BC+AN+NC=5cm，由 AC=AN+NC=3cm，即可得到 BC的长解：AB的垂直平分线交 AC于点 N，NA=NB，又 BCN 的周长是 5cm，BC+BN+NC=5cm，BC+AN+NC=5cm，而 AC=AN+NC=3cm，BC=2cm 故答案为：2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂练习
8、例题来源：无年份：2018【练习 2.2】如图，在 ABC 中，BC边上的垂直平分线DE交边 BC于点 D，交边 AB于点 E若EDC 的周长为 24，ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12，则线段 DE的长为【答案】6【解析】运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件“EDC的周长为 24，ABC与四边形 AEDC 的周长之差为12”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解解：DE是 BC边上的垂直平分线，BE=CE EDC 的周长为 24，ED+DC+EC=24，ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12，（AB+AC+BC）（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC
9、+BC）（AE+DC+AC）DE=12，BE+BD DE=12，BE=CE，BD=DC，得，DE=6 故答案为：6讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图，在 ABC中，AB=AC，DE是 AB的中垂线，BCE的周长为 14，BC=6，则AB的长为【答案】8【解析】由已知条件，利用线段的垂直平分线和已给的周长的值即可求出解：DE是 AB的中垂线AE=BE，BCE 的周长为 14 BC+CE+BE=BC
10、+CE+AE=BC+AC=14 BC=6 AC=8 AB=AC=8 故填 8讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等并进行等量代换教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质并熟练运用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】已知：如图，在 ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交 BC，AB于点 M，N，求证：CM=2BM【答案】CM=2BM【解析】先根据垂直平分线的性质，判定 AM=BM，再求出 B=30，CAM=90，根据直角三角形中30 度的角对的直角边是斜边的一半，得出
11、BM=AM=CA 即CM=2BM证法 1：如答图所示，连接AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN 是 AB的垂直平分线，BM=AM，BAM=B=30，MAC=90，CM=2AM，CM=2BM证法二：如答图所示，过A 作 AD MN 交 BC于点 DMN 是 AB的垂直平分线，N是 AB的中点AD MN，M是 BD的中点，即 BM=MDAC=AB，BAC=120，B=C=30，BAD=BNM=90，AD=BD=BM=MD，又 CAD=BAC BAD=120 90=30，CAD=C，AD=DC，BM=MD=DC，CM=2BM讲解用时：4 分钟解题思路：此题主要考查线段的垂直平分线的性
12、质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等教学建议：掌握线段垂直平分线的性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图，点 P是AOB 外的一点，点 Q是点 P关于 OA的对称点，点 R是点 P关于OB的对称点，直线 QR分别交 AOB 两边 OA，OB于点 M，N，连结 PM，PN，如果PMO=33，PNO=70，求 QPN 的度数【答案】17【解析】先根据点 P于点 Q关于直线 OA对称可知 OM 是线段 PQ的垂直平分线，故 PM=MQ，PMQ=2 PMO，根据三角形内角和定理求出PQM 的度数，同理可得出 PN=RN，故可得出 PNR=2
13、 PNO，再由平角的定义得出 PNQ 的度数，由三角形外角的性质即可得出结论解：点 Q和点 P关于 OA的对称，点 R和点 P关于 OB的对称直线 OA、OB分别是 PQ、PR的中垂线，MP=MQ，NP=NR，PMO=QMO，PNO=RNO，PMO=3 3，PNO=70 PMO=QMO=33，PNO=RNO=70 PMQ=66，PNR=140 MQP=57，PQN=123，PNQ=40，QPN=17 讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键教学建议：熟练掌握轴对称的性质进行解题.难度：4
14、 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，在ABC中，ABC=45，点 P为边 BC上的一点，BC=3BP，且PAB=15 点 C关于直线 PA的对称点为 D，连接 BD，又 APC 的 PC边上的高为 AH（1）求 BPD 的大小；（2）判断直线 BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：BAP=CAH【答案】（1）60；（2）平行；（3）BAP=CAH【解析】（1）根据点 C关于直线 PA的对称点为 D，即可得到 ADP ACP，进而得出 APC=APD=60，即可得到 BPD=180 120=60；（2）先取 PD中点 E，连接 BE，则 BEP为等边三角形，
15、BCDE 为等腰三角形，进而得到 DBP=90，即 BD BC 再根据 APC的 PC边上的高为 AH，可得 AHBC，进而得出 BD AH；（3）过点 A 作 BD、DP的垂线，垂足分别为G、F根据 GBA=CBA=45，可得点 A 在GBC的平分线上，进而得到点A 在 GDP的平分线上再根据GDP=150，即可得到 C=ADP=75，进而得到 RtACH中，CAH=15，即可得出 BAP=CAH 解：（1）PAB=15，ABC=45，APC=15+45=60，点 C关于直线 PA的对称点为 D，PD=PC，AD=AC，ADP ACP，APC=APD=60，BPD=180 120=60；（2
16、）直线 BD，AH平行理由：BC=3BP，BP=PC=PD，如图，取 PD中点 E，连接 BE，则 BEP为等边三角形，BCDE 为等腰三角形，BEP=60，BDE=BEP=30，DBP=90，即 BD BC 又 APC的 PC边上的高为 AH，AH BC，BD AH；（3）如图，过点 A作 BD、DP的垂线，垂足分别为G、FAPC=APD，即点 A在DPC 的平分线上，AH=AF CBD=90，ABC=45，GBA=CBA=45，即点 A在GBC 的平分线上，AG=AE，AG=AF，点 A在GDP 的平分线上又 BDP=30，GDP=150，ADP=150=75，C=ADP=75，RtACH
17、 中，CAH=15，BAP=CAH 讲解用时：8 分钟解题思路：熟悉对称点的性质，学会判断平行线，主要是辅助线的构造.教学建议：此题难度较大，老师可以视学生情况考虑是否讲解.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如图，点 P关于 OA、OB的对称轴分别为 C、D，连结 CD，交 OA于 M，交 OB于 N（1）若 CD的长为 18 厘米，求 PMN 的周长；（2）若 AOB=48，求 MPN.【答案】（1）18cm；（2）84【解析】（1）根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出PMN 的周长（2）要求 MPN 的度数，要在 MPN
18、 中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与 CPD 的关系，利用已知 AOB=48 可求出 CPD，答案可得解：（1）点 P 关于 OA，OB的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA于 M，交 OB于 N，PM=CM，ND=NP，PMN 的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，PMN 的周长=18cm；（2）PC交 OA于 R，PD交 OB于 T P关于 OA、OB的对称点是点 C、D OA垂直平分 PC，OB垂直平分 PD CM=PM，PN=DN PMN=2 C，PNM=2 D，PRM=PTN=90，在四边形 OTPR 中，CPD+O=180，CPD=180
19、48=132C+D=48 MPN=180 482=84讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等教学建议：熟练掌握轴对称的性质和应用，灵活解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】如图，点 P在AOB内，点 M、N分别是 P点关于 OA、OB的对称点，且 MN 交 OA、OB相交于点 E，若 PEF的周长为 20，求 MN的长【答案】20cm【解析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段 M
20、N的长=PEF的周长，再根据 PEF的周长为 20，即可得出 MN 的长解：点 M是 P 点关于 OA的对称点，EP=EM，N是 P点关于 OB的对称点，PF=FN，MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周长，PEF的周长为 20，MN=20cm讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等教学建议：熟练掌握轴对称的性质和应用，灵活解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1 的度数为多少？【答案】60【解析】要使白球反
21、弹后能将黑球直接撞入袋中，则2=60，根据 1、2对称，则能求出 1 的度数解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，2+3=90，3=30，2=60，1=60故答案为：60讲解用时：3 分钟解题思路：本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想教学建议：学会观察图形并判断轴对称图形.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l 对称，则这个英语单词的汉语意思是什么？【答案】书【解析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答解：如图，这个单词所指的物品是书故答案为：书讲解用时：1 分钟解题思路：本题考查了轴对称
22、图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形教学建议：学会观察图形并判断轴对称图形.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，D、E分别是 AB、AC的中点，CD AB于 D，BE AC于 E，求证：AC=AB【答案】AC=AB【解析】作辅助线：连接BC，由 CD垂直于 AB，且 D为 AB中点，即 CD所在直线为 AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到 AC=BC，又 E为 AC中点，且 BE垂直于 AC，即 BE所在的直线为 AC的垂直平分线，同理可得 BC=AB，等量代换即可得证证明：如图，连接BC CD AB于 D，D是
23、 AB的中点，即 CD垂直平分 AB，AC=BC（中垂线的性质），E为 AC中点，BE AC，BC=AB（中垂线的性质），AC=AB 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了中垂线的性质做这类题，要学会作辅助线，以便使解题更简便教学建议：利用中垂线的性质进行解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图，A=90，E为 BC上一点，A点和 E点关于 BD对称，B点、C点关于 DE对称，求 ABC 和C的度数【答案】ABC C=60；C=30【解析】借助轴对称的性质，A点和 E点关于 BD对称，有 ABD=EBD，即ABC=2 ABD=2 EBD，B点、C点关
24、于 DE对称，可得 DBE=BCD，结合上式可得：ABC=2 BCD，且 ABC+BCD=90，进而求得 ABC、C的值解：A点和 E点关于 BD对称，ABD=EBD，即 ABC=2 ABD=2 EBD 又 B点、C点关于 DE对称，DBE=C，ABC=2 C A=90，ABC+C=2 C+C=3 C=90 C=30 ABC=2 C=60 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查轴对称的性质与运用 对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等教学建议：熟练掌握轴对称的性质与运用难度：3 适应场景：当堂
25、练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，在 ABC中，AB=AC，DE是 AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于 D、E，BEC 的周长是 14cm，BC=5cm，则 AB的长是（）A14cm B9cm C 19cm D 12cm【答案】B【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可以得到AE=BE，所以 BEC的周长等于 AC与 BC的长度之和，又BC的长度已知，便不难求出AC的值，AB便可求出解：DE是 AB边的垂直平分线，AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），BEC 的周长=BE+BC+CE=AE+CE+BC=AC+BC=14cm，BC=5
26、cm，AC=14 5=9cm，AB=AC，AB的长是 9cm 故选：B讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A1 条 B2 条 C 3 条 D无数条【答案】D【解析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条故选：D讲解用时：1 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】如图，ABC的周长为 19cm，AC的垂直平分线 DE交 BC于 D，E为垂足，AE=3cm，求ABD 的
27、周长【答案】13【解析】根据垂直平分线的性质计算ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC 解：AC的垂直平分线 DE交 BC于 D，E为垂足AD=DC，AC=2AE=6cm，ABC 的周长为 19cm，AB+BC=13cm ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm故填 13讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A1B1C1与A2B2C2（1）作出 ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1；（2）将 ABC 向右平移 6 个单位，作出平移
28、后的 A2B2C2；（3）观察 A1B1C和A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴【答案】【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移 6 个单位的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x=3解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）如图所示：直线l 即为所求讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，点 P是AOB 外的一点，点 Q与 P关于 OA对称，点 R与 P关于 OB对称，直线 QR分别交 OA，OB于点 M，N，若 PM=PN=3，MN=4，求线段 QR的长【答案】4【解析】由 P与 Q关于 OA对称可得出 PM=MQ=3，同理可得出PN=NR=3，由 MN的长度结合 MQ 的长度可求出 QN 的长度，再根据 QR=QN+NR即可求出线段 QR 的长解：点 P与 Q关于 OA对称，OA垂直平分 PQ，PM=MQ=3同理可得：PN=NR=3MN=4，MQ+QN=4，QN=4 MQ=4 3=1，QR=QN+NR=1+3=4讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018