高中三角函数最值问题难题.pdf

《高中三角函数最值问题难题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中三角函数最值问题难题.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第 1 页 共 11 页高中三角函数最值问题难题一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例 1：求函数 y xxxxxxxxcot|cot|tan|tancos|cos|sin|sin的最值分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。解：（1）当x在第一象限时，有sincostancot4sincostancotxxxxyxxxx（2）当x在第二象限时，有sincostancot2sincostancotxxxxyxxxx（3）当x在第三象限时，有sincostancot0sincostancotxxxxyxxxx（4）当x在第四象限时，sincostancot2s

2、incostancotxxxxyxxxx综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.二、直接应用三角函数的有界性（sin1,cos1xx）解题例 1：（2003 北京春季高考试题）设M 和m分别表示函数cos13x1y=的最大值和最小值，则 Mm等于（）（A）32（B）32（C）34（D）-2 解析：由于cosyx的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos13x1y=的最大值与最小值分别为32,34,即 Mm32+（34）=-2,选 D.例 2：求3sin1sin2xyx的最值（值域）分析：此式是关于 sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin3yxy的形式，再根据 sin1x来

3、求解。解：3sin1sin2xyx，即有sin23sin1sin3sin12yxyxyxxy12(3)sin12sin3yyxyxy。因为 sin1x，所以222121212111333yyyyyy即22212332802340yyyyyy第 2 页 共 11 页即423y，所以原函数的最大值是43，最小值是2。三、利用数形结合例：求cos2sin2xyx的最大值与最小值解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式2121yykxx将原式中的 y 看作是定点(,)P x y与动点(sin,cos)Mxx连线的斜率，而动点(sin,cos)Mxx满足单位圆22s

4、incos1xx，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)P到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：min433y，max433y四、利用三角函数的单调性法例 1：(1996 全国高考试题)当x22，函数()sin3cosfxxx的最值(A)最大值是 1，最小值是 1(B)最大值是 1，最小值是12(C)最大值是 2，最小值是 2 (D)最大值是 2，最小值是 1()sin3cos2sin()3f xxxx，因为x22，所以53x66，当 x6时，函数()f x有最小值1,最大值 2，选择 D 例 2：求sinsinsinxxyx（1+)(3+)=2+的最值及对应x的集合分 析：观

5、察 式 子 可 知 它 并 不 能 直 接 求 出，须 通 过 变 形 为1sin2)sin2xxy（，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。解 答：s i ns i n1s i n2)s i ns i n2xxyxxx（1+)(3+)=（2+令 sin2xt，则xyM2OM1P(2,2)第 3 页 共 11 页1()yf ttt，且 13t，设121213,()()ttf tf t121211()()tttt=1 2121 21()()0t tttt t()(1,3)f t t上单调递增，所以当1t时，min()0f t，此时 sin1x，,2,.2xx xkkz当3t时，8()max3f

6、 t，此时 sin1x，,2,2xx xkkz五、可化为一次函数ykxb，cxd 的条件极值的三角函数式极值求法例 1：求函数sinyabx(0)b的极值分析：由 sin1x，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sinyabx,11x，其中sinxx=,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解：1）当0b时,yab yab最大最小；2）当0b时,yab yab最大最小；说例 2：求函数22sinsincoscosyaxbxxcx的最值，其中0,0bc。分析：在这里不能将它变形为关于sin x或cosx为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即

7、21cos2sin2xx，21cos2cos2xx，1sincossin22xxx，然后代入化简得到sin(),11yxyy最大最小，即可求出。解：因为1 cos21cos2sin2222xbxyaxc1sin2()cos222acbxcax221()sin(2),22acbcax其中arctancab，且 sin(2)1x，2222,22acabcacy最大222222acabcacy最小在这里22sinsincoscosyaxbxxcxsin2cos2yAxBx降次、整理第 4 页 共 11 页六、可化为二次函数2(0)yaxbxc acxd且的条件极值的三角函数式的最值求法。例 1：求函

8、数22sin8sin5yxx最值分析：因为222sin8sin52(sin2)13,sin1,yxxxx故求 y 的最值，实质上是求以 sin x 为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设 sin x=X 时，变为22(2)13yX在约束条件11X的条件极值。解：因为22(sin2)13,sin1,yxx当2sin23135,xy最大=1时,当2sin2 11311.xy最小=-1时,。七、换元法sincos,sincosxxxx（同时出现换元型）例 1:函数sincossincosyxxxx的最大值是 _.(1990年全国高考题)解析：如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数

9、的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题,这种方法可简化计算过程。设sincosxxt,则 tsincos2 sin()4xxx,22t。21sincos2txx函数sincossincosyxxxx可化为221(1)122ttyt，2t时，函数最大值是122。说明：题目中出现sincosxx与 sincosxx时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设 sincosxxt 则 sincosxx 212t。要特别注意换元后t的取值范围。例 2：求函数sinsincoscosyxxxx的最值。解：设sincos2 sin()(22)4txxxt则21sincos2txx于是21122ytt。故当2

10、t时，即 sin()14x时，min122y第 5 页 共 11 页当1t时，即2sin()42x时，max1y八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例 1：求函数22tantan1tantan1xxyxx的最值。分析：由22tantan1tantan1xxyxx，令tanXx，则归为求221,1XXyXX（且x）的最值，故可用判别式法求之。解：由22t a nta n1t a nt a n1xxyxx，22tantantantan1yxyxyxx2(1)tan(1)tan(1)0.yxyxy因为这个一元二次方程总有实数根，2221)4(1)(3103)yyyy（(3)(31)0.y

11、y11.33y13,.3yy最大最小例 2：（s i nc o sax cybx d型的函数）求函数3 cos2sinxyx的最值（值域）。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分 母 是 含 有 si n x 的 一 次 式，不 能 直 接 解 出c os x或 sinx，通 常 是 化 作s i n()()xfx求解。解法一：由3 cos,2sinxyx得sin3 cos2,yxxy23sin()2yxy（为辅助角）22sin(),3yxy因为1sin()1x得2211,3yy由此解得11y函数的值域为1,1说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何

12、方法（数形结合）求解，现介绍如下。解法二：令tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt223()()2(1)tytRtt1-即33ytyty2(2+)+2+(2-)=0若3y2+=0,即32y=-,则 t=-2 满 足 条 件 若第 6 页 共 11 页xyOQP1P23y2+0,即32y，则由33yyy2=4-4(2+)(2-)0，有32yy-11()函数的值域为1,1解法三：由3 cos2sinxyx，得cos0sin(2)3yxx，设点(sin,cos)Pxx，(2,0)Q，则3y可看作是单位圆上的动点 P 与Q连线的斜率。如右图所示，直线1QP的方程为(2)yk x，即2

13、0kxyk，则圆心0,0)（到它的距离2211kdk，解得133k或233k。所以33333y，即11y，所以函数的值域为-1，1九、利用不等式1212nnnaaaaaan求最值（其中0,1,2,.,iain）利用上述不等式求最值时,(1,2,.,)ia in必须满足下列条件:若n个正数(1,2,.,)ia in的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值.若n个正数(1,2,.,)ia in的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值.例 1:当(0,)2,求sin(1 cos)2y的最大值解析:因为(0,)2,所以(0,)24于是sin(1 cos)2y=22sincos22所以22224

14、sincoscos222y322232 incoscos21622222()333s第 7 页 共 11 页即163y说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如sincosmnyxx（,m nN且 02x）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数sincosmnyxx（,m nN且 02x）,求其最大值.解:因为,02m nNx，所以22(sin)(cos)mnyxx222222sinsinsincoscoscosmnxxxxxx个个2222221(sin)(sin)(sin)(cos)(cos)(cos)mnmnnxnxnxmxmxmxn m个个考察上式根号中的 mn个因式之和为2222s

15、in)(cos)(sincos)m nxn mxmnxxmn(。因而由平均值不等式得221(sincos)m nmnmnxxyn mmn1()()mnm nmnm nmnm nn mmnmn当且仅当22sincosnxmx时，即 tanmxn，亦即tanmxarcn时，等号成立故 当t anmxar cn时，函 数si nc o s(,0)2mnyxx m nNx且有 最 大 值()mnm nm nmn例 2:求函数12(0)sincos2yxxx的最小值。分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑02x，则0y。若求出2y的范围，则问题也就解决了。解：222212144()sincossin

16、sincoscosyxxxxxx=22224(sincos)csc4secsincosxxxxxx22(1cot)4(tancot)4(1tan)xxxx225(cot2 tan2 tan)(4 tan2cot2cot)xxxxxx第 8 页 共 11 页33222253 4 cottan3 16tancotxxxx333353 43 1653 462每且仅当22cot2tan4tan2cotxxxx即31arctan2x时，233min53 46 2y。所以33min53 46 2y说明：这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。设0a,0b,求函数(0)sinco

17、s2abyxxx的最小值。解：由222222sincossincosababyxxxx22(1cot)2(tancot)axabxx22(1tan)bx2222(cottantan)abaxabxabx22(tancotcot)bxabxabx3322422224223cottan3tancotaba bxxa bxx3332222223()aba bab33223()ab每且仅当2222cottantancotaxabxbxabx，即3arctanbxa时，332223()yab所以33223min()yab说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必须将它变形符合形式

18、，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。十、对有约束条件的三角函数的最值求法例 1：设、皆为锐角，求函数sinsiny之最大值。解析：因为,0220 0+，故 0 .且-0,tan 0,tan 0222222A BCABC所以、均为锐角.则)222CAB且 =-(2第 9 页 共 11 页所以tantan122tancot)222tan)tantan2222ABCABABAB1-=(tantantantantantan1222222ABBCAC可得 +tantantan222ABC2所以()=tantan)(tantan)(tantan)222222ABBC

19、AC(3tantantantantantan1222222327ABBCAC+，当且仅当3ABC时等号成立，故tantantan222ABC3的最大值是9说十一、利用导数求函数的最值例：已知(0,)2x，求6 32()sincosf xxx的最小值。解：226 3 cos2sin()sincosxxfxxx，令()0fx得：3tan3 3tan3xx，而(0,)2x，则3x，而当 03x时，()0fx；当32x时，()0fx所以当3x时，min()16f x。例：求函数sin2sinxyx的最大值和最小值。1 运 用 三 角 函 数 的 有 界 性，即 sin1x来 求 解，即 将 原 式 变

20、 形 为sin2sin2sin1xyyxxy，所 以 变 为211yy来 进 行 求 解 即 可。即 有22411(1)(31)11(1)3yyyyy，即max1,13minyy。2将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，即将原式变形为212sinyx。当 sin1x时，即2()2kxkkz 时，有max211213y。当 sin1x时，第 10 页 共 11 页即2()2kxkkz 时，有min21121y。3将函数式直接变形为121sinyx，其实求法就跟上一题一样。4考虑万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令tan2xt，则有22sin1txt，所以22221212

21、1tttytttt，即2(1)0ytyty此关于 t 的二次方程应有实根，故22(1)40yy，解之得113y，故有max1,13minyy5将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子21tytt化为1(0)11yttt，当 t 为正值时，有11111231ytt。所以max13y，当 t为负值时，有11111(2)1ytt。所以1miny综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：1可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型：可 将 函 数 式 化 为s i n()yAx的 形 式 求 解 的 问 题，形 如sinsinaxbycxd或者22sinsincosc

22、osyaxbxxcx的函数适用；可 将 函 数 式 化 为sin()()xfx的 形 式 求 解 的 问 题，形 如cossinaxbycxd或者形如sincosaxbycxd的函数适用；2 可转化为求二次函数2yatbtc在闭区间1,1上的最值问题，典 型 的 是：形 如2sinsin(0)yaxbxc a的 最 值；形 如(sincos)sincosyAxxBxx的最值；3 转 化 为 可 利 用 均 值 不 等 式 求 解 的 最 值 问 题，例 如 函 数sin()sinayxaRx的最值。4某些带约束（隐含）条件的最值。5利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）6含参数的逆向思考问题。第 11 页 共 11 页