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1、第 1 页 共 11 页高中三角函数最值问题难题一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例 1：求函数 y xxxxxxxxcot|cot|tan|tancos|cos|sin|sin的最值分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。解： （1）当x在第一象限时，有sincostancot4sincostancotxxxxyxxxx（2）当x在第二象限时，有sincostancot2sincostancotxxxxyxxxx（3）当x在第三象限时，有sincostancot0sincostancotxxxxyxxxx（4）当x在第四象限时，sincostancot2
2、sincostancotxxxxyxxxx综上可得此函数的最大值为4，最小值为 -2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin1, cos1xx）解题例 1： （2003 北京春季高考试题）设M 和m分别表示函数cos13x1y=的最大值和最小值，则 Mm等于（ ）（A）32（B）32（C）34（D）-2 解析：由于cosyx的最大值与最小值分别为1,-1, 所以, 函数cos13x1y=的最大值与最小值分别为32,34, 即 Mm32+（34）=-2, 选 D. 例 2：求3sin1sin2xyx的最值（值域）分析：此式是关于 sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin3yxy的形式
3、，再根据 sin1x来求解。解：3sin1sin2xyx，即有sin23sin1sin3sin12yxyxyxxy12(3)sin12sin3yyxyxy。因为 sin1x，所以222121212111333yyyyyy即22212332802340yyyyyy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 11 页即423y，所以原函数的最大值是43，最小值是2。三、利用数形结合例：求cos2sin2xyx的
4、最大值与最小值解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点， 联想到斜率公式2121yykxx将原式中的 y 看作是定点( , )P x y与动点(sin,cos)Mxx连线的斜率，而动点(sin,cos)Mxx满足单位圆22sincos1xx，如上图所示。所以问题可转化为求定点(2,2)P到单位圆相切时取得的最值， 由点到直线的距离得：min433y，max433y四、利用三角函数的单调性法例 1：(1996 全国高考试题 ) 当x22，函数( )sin3cosfxxx的最值(A) 最大值是 1，最小值是 1 (B) 最大值是 1，最小值是12(C) 最大值是 2，最小值是
5、 2 (D) 最大值是 2，最小值是 1 ( )sin3cos2sin()3f xxxx， 因为x22， 所以53x66，当 x6时，函数( )f x有最小值1, 最大值 2，选择 D 例 2：求sinsinsinxxyx（1+)(3+)=2+的最值及对应x的集合分 析 ： 观 察 式 子 可 知 它 并 不 能 直 接 求 出 ， 须 通 过 变 形 为1sin2)sin2xxy （，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。解 答 ：s i ns i n1s i n2 )s i ns i n2xxyxxx（1+)(3+)=（2+令 sin2xt ， 则xyM2OM1P ( 2 , 2 )名师
6、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 11 页1( )yf ttt，且 13t， 设121213,( )()ttf tf t121211()()tttt= 1 2121 21()()0t tttt t( )(1,3 )f t t上单调递增，所以当1t时，min( )0f t，此时 sin1x，,2,.2xx xkkz当3t时，8( )max3f t，此时 sin1x，,2,2xx xkkz五、可化为一次函
7、数ykxb， cxd 的条件极值的三角函数式极值求法例 1：求函数sinyabx(0)b的极值分析：由 sin1x，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sinyabx, 11x，其中sinxx=, 这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解： 1 ）当0b时, ,yab yab最大最小； 2）当0b时, ,yab yab最大最小；说例 2：求函数22sinsincoscosyaxbxxcx的最值，其中0,0bc。分析：在这里不能将它变形为关于sin x或cosx为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos2sin2xx，21cos2co
8、s2xx，1sincossin22xxx，然后代入化简得到sin(),11yxyy最大最小，即可求出。解：因为1 cos21cos2sin2222xbxyaxc1sin2()cos222acbxcax221()sin(2),22acbcax其中arctancab，且 sin(2)1x，2222,22acabcacy最大222222acabcacy最小在这里22sinsincoscosyaxbxxcxsin2cos2yAxBx降次、整理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3
9、 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 11 页六、可化为二次函数2(0)yaxbxc acxd且的条件极值的三角函数式的最值求法。例 1：求函数22sin8sin5yxx最值分析：因为222sin8sin52(sin2)13, sin1,yxxxx故求 y 的最值，实质上是求以 sin x 为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设 sin x =X 时，变为22(2)13yX在约束条件11X的条件极值。解：因为22(sin2)13,sin1,yxx当2sin23135,xy最大=1时,当2sin2 11311.xy最小=-1时,。七、换元法sinc
10、os,sincosxxxx（同时出现换元型）例 1: 函数sincossincosyxxxx的最大值是 _.(1990年全国高考题) 解析：如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积 , 常用换元法来解决问题 , 这种方法可简化计算过程。设sincosxxt ,则 tsincos2 sin()4xxx, 22t。21sincos2txx函数sincossincosyxxxx可化为221(1)122ttyt，2t时，函数最大值是122。说明：题目中出现sincosxx与 sincosxx时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设 sincosxxt 则 sincosxx 212
11、t。要特别注意换元后t的取值范围。例 2： 求函数sinsincoscosyxxxx的最值。解： 设sincos2 sin()(22)4txxxt则21sincos2txx于是21122ytt。故当2t时，即 sin()14x时，min122y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 11 页当1t时，即2sin()42x时，max1y八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例 1：求函数22ta
12、ntan1tantan1xxyxx的最值。分析：由22tantan1tantan1xxyxx，令tanXx ，则归为求221,1XXyXX（且x）的最值，故可用判别式法求之。解 ： 由22t a nta n1t a nt a n1xxyxx，22tantantantan1yxyxyxx2(1)tan(1) tan(1)0.yxyxy因为这个一元二次方程总有实数根，2221)4(1)(3103)yyyy（(3)(31)0.yy11.33y13,.3yy最大最小例 2： （s i nc o sax cybx d型的函数）求函数3 cos2sinxyx的最值（值域）。分析：此函数的解析式与上例不同，
13、分式中的分子含有cosx的一次式，而分 母 是 含 有 si n x 的 一 次 式 ， 不 能 直 接 解 出c os x或 sinx ， 通 常 是 化 作s i n ()()xfx求解。解法一：由3 cos,2sinxyx得sin3 cos2 ,yxxy23sin()2yxy（为辅助角）22sin(),3yxy因为1sin()1x得2211,3yy由此解得11y函数的值域为1,1说明： 对此类问题可通过万能公式代换求解， 还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。解法二：令tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt223()()2(1)tytRtt1-即33ytyty2
14、(2 +)+2+(2 -)=0若3y2 +=0,即32y=-,则 t=-2 满 足 条 件 若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 11 页xyOQP1P23y2 +0,即32y， 则由33yyy2=4-4(2+)(2-)0， 有32yy-11()函数的值域为1,1解法三：由3 cos2sinxyx，得cos0sin( 2)3yxx，设点(sin,cos)Pxx，( 2,0)Q，则3y可看作是单位圆上
15、的动点 P 与Q连线的斜率。如右图所示，直线1QP的方程为(2)yk x，即20kxyk，则圆心0,0)（到它的距离2211kdk，解得133k或233k。所以33333y，即11y，所以函数的值域为-1，1九、利用不等式1212nnnaaaaaan求最值（其中0,1,2,.,iain）利用上述不等式求最值时 , (1,2,.,)ia in必须满足下列条件 : 若n个正数(1,2,.,)ia in的和一定时 , 当且仅当它们相等时 , 其积取最大值 . 若n个正数(1,2,.,)ia in的积一定时 , 当且仅当它们相等时 , 其和取最小值 . 例 1: 当(0,)2, 求sin(1 cos
16、)2y的最大值解析: 因为(0,)2, 所以(0,)24于是sin(1 cos )2y= 22sincos22所以22224sincoscos222y322232 incoscos21622222()333s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 11 页即163y说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如sincosmnyxx（,m nN且 02x）的值域是十分重要的, 下面来看一下: 已知函数sin
17、cosmnyxx（,m nN且 02x）, 求其最大值 . 解: 因为,02m nNx，所以22(sin) (cos)mnyxx222222sinsinsincoscoscosmnxxxxxx个个2222221( sin) ( sin)( sin) (cos) (cos)(cos)mnmnnxnxnxmxmxmxn m个个考察上式根号中的 mn个因式之和为2222sin)(cos)(sincos)m nxn mxmnxxmn(。因而由平均值不等式得221(sincos)m nmnmnxxyn mmn1()()mnm nmnm nmnm nn mmnmn当且仅当22sincosnxmx时，即 t
18、anmxn，亦即tanmxarcn时，等号成立故 当t anmxar cn时 ， 函 数si nc o s(,0)2mnyxx m nNx且有 最 大 值()mnm nm nmn例 2: 求函数12(0)sincos2yxxx的最小值。分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑02x，则0y。若求出2y的范围，则问题也就解决了。解：222212144()sincossinsincoscosyxxxxxx= 22224(sincos)csc4secsincosxxxxxx22(1cot)4(tancot)4(1tan)xxxx225(cot2 tan2 tan )(4 tan2cot2cot)x
19、xxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 11 页33222253 4 cottan3 16tancotxxxx333353 43 1653 462每且仅当22cot2tan4tan2cotxxxx即31arctan2x时，233min53 46 2y。所以33min53 46 2y说明： 这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。设0a,0b, 求函数(0)sinco
20、s2abyxxx的最小值。解：由222222sincossincosababyxxxx22(1cot)2(tancot)axabxx22(1tan)bx2222(cottantan )abaxabxabx22(tancotcot)bxabxabx3322422224223cottan3tancotaba bxxa bxx3332222223()aba bab33223()ab每且仅当2222cottantancotaxabxbxabx，即3arctanbxa时，332223()yab所以33223min()yab说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必须将它变形符合形
21、式，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。十、对有约束条件的三角函数的最值求法例 1：设、皆为锐角，求函数sinsiny之最大值。解析：因为,0220 0+，故 0 .且- 0, tan 0, tan 0222222A BCABC所以、 均为锐角 . 则)222CAB且 = -(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 11 页所以tantan122tancot)22
22、2tan)tantan2222ABCABABAB1-=(tantantantantantan1222222ABBCAC可得 + tantantan222ABC2所以 () =tantan)(tantan)(tantan)222222ABBCAC(3tantantantantantan1222222327ABBCAC+ ， 当且仅当3ABC时等号成立，故tantantan222ABC3的最大值是9说十一、利用导数求函数的最值例：已知(0,)2x，求6 32( )sincosf xxx的最小值。解：226 3 cos2sin( )sincosxxfxxx，令( )0fx得：3tan3 3tan3x
23、x，而(0,)2x，则3x，而当 03x时，( )0fx；当32x时，( )0fx所以当3x时，min( )16f x。例：求函数sin2sinxyx的最大值和最小值。1 运 用 三 角 函 数 的 有 界 性 ， 即 sin1x来 求 解 ， 即 将 原 式 变 形 为sin2sin2sin1xyyxxy， 所 以 变 为211yy来 进 行 求 解 即 可 。 即 有22411(1)(31)11(1)3yyyyy，即max1,13minyy。2将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，即将原式变形为212sinyx。当 sin1x时，即2()2kxkkz 时，有max211
24、213y。当 sin1x时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 11 页即2()2kxkkz 时，有min21121y。3将函数式直接变形为121sinyx，其实求法就跟上一题一样。4考虑万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令tan2xt，则有22sin1txt，所以222212121tttytttt，即2(1)0ytyty此关于 t 的二次方程应有实根，故22(1)40yy，解之得113y，
25、故有max1,13minyy5将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子21tytt化为1(0)11yttt，当 t 为正值时，有11111231ytt。所以max13y，当 t为负值时，有11111 ( 2)1ytt。所以1miny综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：1可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型：可 将 函 数 式 化 为s i n ()yAx的 形 式 求 解 的 问 题 ， 形 如sinsinaxbycxd或者22sinsincoscosyaxbxxcx的函数适用；可 将 函 数 式 化 为sin()( )xfx的 形 式 求 解 的
26、 问 题 ， 形 如cossinaxbycxd或者形如sincosaxbycxd的函数适用；2 可转化为求二次函数2yatbtc在闭区间1,1上的最值问题，典 型 的 是 ： 形 如2sinsin(0)yaxbxc a的 最 值 ； 形 如(sincos)sincosyAxxBxx的最值；3 转 化 为 可 利 用 均 值 不 等 式 求 解 的 最 值 问 题 ， 例 如 函 数sin()sinayxaRx的最值。4某些带约束（隐含）条件的最值。5利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）6含参数的逆向思考问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 11 页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -