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1、三角函数求最值问题学案 编写人：于萍 知识目标：能熟练掌握求三角函数最值的几种类型及方法，进一步深化求三角函数最值时的一些变换，掌握三角函数有界性在求三角函数最值时的作用；能力目标：培养对三角函数基本知识的综合应用能力，培养对换元、数形结合思想的应用能力，培养独立归纳、思考的自学能力；情感目标：在体验教学活动的过程中，激发学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。重 点：求三角函数最值的几种常见类型 难 点：三角知识在求最值时的综合应用 三角函数是高中数学中重要的内容之一，而最值问题的求解是三角函数的重要题型，在近几年的高考题中经常出现，极具灵活性。现举例说明解决这种题型的若干方法，供大家参考
2、。一：利用三角函数的有界性 例 1、函数1sin3xy的最大值为_；变式、函数1sinxay的最大值为_；小结：对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界性求三角函数的最值。二：利用配方法 例 2.求函数的最值。变式 1、求函数2cos2cosxxy的最小值；变式 2、0cossin2axx有实数解，求a的取值范围；小结：形如2sincosyaxbxc型的函数，应如何处理，转换成我们熟悉的什么问题来解决？三：化为一个角的三角函数 例 3求函数 y=sin2x+2sinx cosx+3 cos2x 的最小值、最大值。并写出函数 y 取最值时的 x 的集合。例 4 如何求函数sincos()6
3、yxx的最大值和最小值？变式、函数2()2sin3cos24f xxx，求()f x的最大值_；小结：形如 y=asinx+bcosx 型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。应用公式是：_ 拓展引申：例 6求函数xxxxycossincossin的最大值和最小值。变式、求 y=xxxxcossin1cossin的最值？四：利用数形结合 例 7.求函数xxycos2sin的最值。变式：求函数sin2cos3y的最值。五.利用换元法 例 8.求函数的最值。变式、求函数231yxx的最值。思悟小结：1.求三角函数最值的常用方法有：配方法（主要
4、利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等.2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性.（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.课后训练题：1.函数 y=acosx+b（a、b 为常数），若7y1，求 bsinx+acosx 的最大值.2.求函数 y=1cossin1cossinxxxx的最小值 （0 x 2）3.如果x4求函数 f(x)=cos2x+sin x 的最大、最小值。4.y=xxsin2sin的最大值是_，最小值是_.5.y=xxsincos2（0 x）的最小值是_.6已知：定义在4,(上的减函数)(xf，使得)cos4721()sin(2xmfxmf 7.角的终边过点 P60cos6,8 m且54cos，则m的值是_.8.将函数32sinxy图像上所有点向右平移6个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，则所得图像的函数解析式为_.9.已知31cos，31cos，且2,0,，求cos的值.